高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念课时训练

【精编】5.1.1 数列的概念课堂练习

一．填空题

1．数列．．．．的一个通项公式是___________.

2．已知数列满足，则的最大值为___________.

3．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．

4．已知数列满足：，，，，，，，…，以此类推______.

5．若数列的通项公式，则数列中的最大项是第_____项；最小项是第_____项.

6．若数列满足，，则______.

7．已知数列中，，则中的最大项为______.

8．数列满足，，则______.

9．已知数列的通项公式为，前n项和为，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.

10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和（n∈N），那么a2的值为_____，数列{an}的通项公式为_____．

11．将正整数按下图方式排列，2019出现在第行第列，则 ______；

1

2    3    4

5    6    7    8    9

10    11    12    13    14    15    16

12．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N）定义使a1？a2？？ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．

13．已知数列共有21项，且， ，，则满足条件的不同数列有______个.

14．已知数列满足:其中,若,则的取值范围是______.

15．数列中的最大项为____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】将该数列的前四项表示为与项数相关的代数式，可归纳出该数列的一个通项公式.

【详解】

由题意知，，，.

则该数列的一个通项公式为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，解题的关键就是分析出数列的变化规律，考查推理能力，属于基础题.

2．【答案】.

【解析】根据移项，左右两边同时平方，得出，整理即可得出，数列是周期为的数列，代入，得出的等量关系式，

令，得到二次不等式，根据二次函数得性质即可得出最大值.

【详解】

解：由题意，，

①，

于是②，

②-①得，

因为，当时，，，

此时；

当时，，，

∴，此时，

数列是周期数列，周期为2.，

于是，由①有.

设，根据，

得，，

得，当且仅当时，取等号，

所以的最大值为.

综上，的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列的周期性，二次函数的基本性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.

当时，    ，解得：

当且时，

，即：

数列是以为首项，为公比的等比数列   

    ，解得：

又    或

满足条件的的取值集合为

本题正确结果：

4．【答案】

【解析】根据数列项的规律进行分段，分析出第2020项所属的那一段，再结合规律即可求值．

【详解】

按分母分段，分母为的分数有个，

因为，故2020属于第64段，

则应该是分母为65的第四数，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分段，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

5．【答案】10    9 

【解析】将通项公式转化为：，利用反比例函数的性质求解.

详解：数列的通项公式，

由反比例函数的性质得：

当时，数列单调递减，且 ，

当 时，数列单调递减，且 ，

所以数列的最大项为，最小项为

故答案为：①10；②9

【点睛】

本题主要考查数列的单调性，还考查了转化求解的能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的通项公式求出结果．

【详解】

解：数列满足，，①

当时，，②

①②得，

所以，

，

，

所有的式子相乘得，

所以

即首项符合通项，

故，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

7．【答案】

【解析】利用配方法得出，结合，可知中或最大，计算出和的值，比较大小后可得出数列中的最大项.

详解：，所以，数列中或最大，

，，因此，数列中的最大项为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列中最大项的求解，考查数列单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】由首项，利用递推公式求出第二．三．四．五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论.

【详解】

由，，

得，，，，

∴是周期为4的数列，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差．等比数列，或者是周期数列.

9．【答案】

【解析】设,若恒成立,需满足,利用与0的大小关系判断数列的单调性,进而求解即可

【详解】

由题,设,

若恒成立,则,

因为,

所以是递增数列,则,

即,即,

故答案为:

【点睛】

本题考查数列的单调性的应用,考查放缩法的应用

10．【答案】3.    an． 

【解析】令，代入，即可求出a2的值；根据与的关系可求出，然后再利用叠乘即可求解.

【详解】

由a1＝1，前n项和（n∈N），

令，则，所以；

，

整理可得，即，

所以，

所以，即.

故答案为：3，

【点睛】

本题考查了与的关系．叠乘法求数列的通项公式，属于基础题.

11．【答案】128

【解析】观察数阵可知：前行一共有个数，且第行的最后一个数为，且第行有个数，由此可推断出所在的位置.

【详解】

因为前行一共有个数，且第行的最后一个数为，

又因为，

所以在第行，

且第45行最后数为，

又因为第行有个数，，

所以在第列，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用.

12．【答案】2026

【解析】根据题意，先求出a1？a2？？ak可得a1？a2？a3？？ak=log2（k+2），即转化为k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，由k∈[1，2019]可得1≤2n-2≤2019，可求解对应值，再分项求解即可

【详解】

∵an=logn+1（n+2）=（n∈N），

∴a1？a2？a3？？ak=？？？？=log2（k+2），

又a1？a2？a3？？ak为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，

又k∈[1，2019]，∴1≤2n-2≤2019，∴取2≤n≤10，

∴区间[1，2019]内所有的企盼数的和为：

M=（22-2）+（23-2）+（24-2）++（210-2）=（22+23++210）-2×9=-18=2026.

故答案为：2026

【点睛】

本题考查新定义数列的理解判断，数列的分组求和，属于中档题

13．【答案】

【解析】转化条件得或，求出满足的个数，再利用组合的知识即可得解.

详解：， 或，

设满足的个数为，

，

，解得，

结合组合的应用，满足要求的数列有个.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.

14．【答案】

【解析】令，逐步计算，即可得到本题答案.

【详解】

15．【答案】

【解析】利用数列中最大项比它的前一项和后一项都大或相等，列出不等式可得出的值即可求出最大项.

【详解】

令，设是数列中的最大项，则

且，

，最大项为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查的是数列的通项的应用，找数列中最大的项的方法有（1）利用图像；（2）利用单调性；（3）利用作差法；（4）利用不等式组，（5）利用等差等比数列的有关性质等，是中档题.