初中北师大版4 分式方程教案

4.分式方程

教学目标

1．理解分式方程的概念。

2．会解简单的可化为一元一次方程的分式方程。

3．了解分式方程产生增根的原因；掌握解分式方程验根的方法。

教学重点和难点

1．教学重点：正确地解简单的可化为一元一次方程的分式方程．

2．教学难点：产生增根的原因

教学过程

一、回顾交流，情境引入

（1）提问：1、以前我们学过什么方程？

    （一元一次方程和二元一次方程）

      2、你可以分别举一个例子吗？

（在提问学生后，教师再举两个例子。（比如）让学生判断，从而指出这些都是整式方程。

3、你还记得一元一次方程的解法吗？

（出示方程，引导学生回忆旧知识。）

     这节课我们学习一种新的方程——分式方程

（2）呈现学习目标

（3）问题情境

1、小明用20元买了x支相同的钢笔，则每支钢笔的价钱是      元。

2、小明用20元买了4支相同的钢笔，求每支钢笔的价钱是多少元？如果设每支钢笔的价钱是x元，则可列方程                  。

议一议：上面所得到的方程是我们以前所学过的方程吗？（不是）

比一比：以前学过的方程同以上的方程有什么不同？

讨论结果：以前学过的都是整式方程，分母中不含未知数，而上面这个方程含有分式，且有未知数处在分母的位置上。

说一说：你能尝试给它一个名字吗？

讨论结果：分式方程，因为里面含有分式。

想一想：你能归纳出分式方程的概念吗？

得出结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（齐读）

做一做：课件中的“找朋友”活动

教师活动：前面我们学习一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，你以该如何解这个分式方程呢？今天这节课就重点学习“分式方程的解法”

                   板书：分式方程的解法

二、尝试练习，探索解法

1、问题1：试解分式方程

讨论：怎样化为整式方程？

（组织学生讨论后，教师再板演解题过程）

解：方程两边同乘以 x ，得：

解得：

检验：将x=5代入分式方程，左边=4=右边，

所以v=5是原分式方程的解。

2、问题2：试一试：解方程

         解：方程两边同乘以得

            解得：x = 3

反问：x = 3是原分式方程的解吗？

   督促学生进行检验、反思。学生通回代发现，x = 5时，原方程的分母为0，分式根本没有意义，产生困惑：问题出在哪里？

   组织学生进行讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其它步没有问题，捕捉时机，提出问题

3、问题3：

观察方程①  和方程 ② 中的x的取值范围相同吗？

学生活动：由于①是分式方程，而②是整式方程x可取任意实数，数的范围在去分母的过程中扩大了。

教师点评：抓住学生的认知盲区，说明解分式程可以产生“令分母值为0的解”—增根（解释），因此必须检验。

4、问题4。想一想，解分式方程该如何检验？

  （方法一：跟整式方程的检验一样，去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等。

   方法二：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根,必须舍去）。

5、总结解分式方程的一般步骤

  1.去分母(在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式方程).

  2.解这个整式方程.

  3.检验(把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根,必须舍去).

简记成：一化二解三检验

三、范例引路，巩固解法

例1，解方程

解：方程两边同乘以得                 

     解得

检验：把代入，所以是原分式方程的解。

四、课堂练习

1、小试身手：解分式方程

2、巩固练习

解分式方程   

五、课堂小测

P试卷

六、课堂小结

1、这节课你有什么收获？

2、教师小结。（解分式方程的思路和步聚）

七、布置作业

解分式方程

一、教学目标
（一）、知识与能力目标

1．使学生了解分式的概念，使学生能够求出分式有意义的条件，明确分母不得为零是分式概念的组成部分。
2．分式方程的解法及化归思想。

3、理解分式方程必须验根的原因。
（二）、 过程与方法目标
　　能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题。

（三）情感与价值目标
    在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。

培养学生严谨的思维能力。

在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
二、教学重点

分式方程的解法及其应用。

三、教学难点
   1、准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点．教学方法:分组讨论。
   2、理解解分式方程时产生增根的原因，分式方程的应用。
四、教学方法    

   启发式设问和同学分组讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用

五、教学过程

（一）、组织教学：检查学生进班情况

（二）、复习巩固：

      1、什么是一元一次方程？

      2、怎样解一元一次方程？

（三）、引入新课：

    1、情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林的面积是多少公顷?

   (1)、这一问题有哪些等量关系？

  （2）、如果设原计划每月固沙造林X公顷，那么原计划完成一期工程需要___________个月，实际完成___________公顷。

2、课本例题：一首轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，将水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，填空：

轮船顺流速度为___________千米/时，逆流航行速度为___________千米/时，顺溜航行100千米所用时间为___________小时，逆流航行60千米所用时间为___________小时。

     完成上面的填空后，根据“两次航行所用时间相等”这一等量关系，可以得到方程     

         

1、  与   是整式？还是分式？

    2、 它们为什么是分式？ 

方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们以前学习的分式方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中。

（四）、讲解新课：

   1、分式方程的意义：（对比讲解整式方程的意义）

   2、判断下列各式哪些是分式方程？

（1）、x+y=1   （2）、 （3）、

（4）、     （5）、   （6）、

3、可化为一元一次方程的分式方程解法讨论：

举例：（1）、解方程1）、

                  2）、      

解：1）、原分式方程中各分母的最简公分母是（20+x）（20-x）

        因此给方程两边同乘（20+x）（20-x），得

             100（20-x）=60（20+x）

          解得

                        x=5

检验：将x=5代入1）中，左边=4=右边，因此x=5是分式方程1）的解。

由上可知，江水的流速为5千米/时。

归纳：解分式方程1）的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

2）、讨论：方法相同，为什么一个是方程的解，一个却不是？

     原因：方程两边同乘以最简公分母（含未知数的式子），如1）中（20+v）（20-v）,2)中（x+5）（x-5）。由等式的基本性质，两边只能同时乘以不为零的数，故（20+v）（20-v）0，即v20。由（x+5）（x-5）0可以得知x5时，整式方程才同解，即整式方程的解使整式方程成立，也能使分式方程成立，两个条件缺一不可，否则，原分式方程无解。如2），只有x=5时。整式方程成立，但分式方程无解，即原分式方程不可能成立，即无解。

     原因分析：如2）中， 

     通分得到

     同分母分式值相等的条件知：

     =0

      解之得x=5和x5

所以：两个条件不可能同时成立，即原分式方程左边不可能等于右边。

并且：检验方法：将整式方程的解代入最简公分母中，最简公分母为0，无解，不为0，它是原分式方程的解。

（3）、归纳解分式方程的步骤（三步）：

     第一步，找出分式方程的最简公分母；

     第二步，通分，解出得数；

     第三步，检验分式的根。

（4）、范例讲解：

解：原分式方程中各分母的最简公分母是x(x-3)

   因此给方程两边同乘x(x-3),得

        2x=3(x-3)

      解之得 x=9

（五）、课外练习：1、P29解方程；

                      2、P32 1、5）、6）。

（六）、小结：分式方程及其解法

（七）、作业：P32 1、1）—4）

（八）、板书设计：小黑板

    （九）、作业问题记录：略

（十）、教学反思：

分式是有理式的一个重要组成部分。在整式的概念、变形、四则运算及因式分解的基础上，进一步学习分式，它既是对整式的运用和巩固，也是对整式的延伸。分式的学习则需要类比分数的概念性质、运算法则等知识来完成。
    在这一章的教学中，我首先从实际问题出发，类比分数，引出分式的概念；其次类比分数的基本性质和四则运算，学习相应分式的基本性质和四则运算；再次学习可化为一元一次方程的分式方程的求解；最后引入整数指数幂，把分式与负整数指数幂的互化有机地联系起来，同时又把科学记数法推广到绝对值小于1的数的表示。
    结合学生的学习反馈，我认为在教学中应注意以下几个问题：
    1、类比分数的概念性质，如分母不为零、零除以任何不为零的数都得零、一个数除以它本身都得1（零除外）、分子分母同号为正、异号为负等，可以帮助学生正确理解当分式中字母取何值时，分式有意义、分式无意义、分式值为零、分式值为1、分式值为正、分式值为负。
    2、在进行分式的运算时，要强调运算顺序，要让学生体会到在运算的过程中，凡遇多项式要先因式分解再约分或通分，最后结果必须化为最简分式或整式。

3、在将分式方程化为整式方程求解的过程中，要渗透“转化思想”，要让学生知道可能产生增根，从而使学生认识到检验的目的和必要性。
    4、学生容易出现提取负号后，括号里面各项不全变号的错误；容易将分式方程去分母的方法挪用到分式计算中去，出现随意去分母的错误等。
    总的来说，联系旧知，对比新知，及时发现和纠正学生的错误，可以使分式的学习顺利进行。《八年级数学

分式方程的应用 　　

教学目标：　　

1：进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程　　

2：使学生能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题　　

教学重点、难点：　　

重点：让学生学习审明题意、设未知数、列分式方程。　　

难点：在不同的实际问题中设未知数列分式方程　　

教学过程：　　

一：情境引入　　

1：解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简  （2）方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程  （3）解整式方程  （4)验根　　

2：列方程解应用题的步骤是什么？　　

（1）审  （2）设  （3)列  （4）解  （5) 答　　

3：由学生讨论我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型的基本公式是什么？　　

二：探求新知　　

  例1 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？　　

  分析：解答参看教材29页例3 （1）教师提出问题（2）学生审题、思考、小组讨论、寻求解决问题的方法　　

 例2 从2004年5月起某列列车平均提速v千米／小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？　　

分析解答参看教材　　

在活动中教师要关注：（1）学生是否能将实际问题化为数学问题 （2)大部分学生能否将这个问题很好的分析出，能否列出方程 （3）基础较差的学生对于该题的理解是有困难的怎样适当的加以个别引导　　

 三 问题解决巩固练习　　

课本　

 四 归纳总结　　

   本节课学习了哪些知识，对自己在本节课的学习情况进行反思和评价，你有哪些收获？　　

 五 布置作业　　

   教材习题　　 　

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