高中数学第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程巩固练习

【优选】2.6.1 双曲线的标准方程练习

一．填空题

1．已知双曲线：的左焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于．两点，以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为______．

2．已知是双曲线上的一点，，是双曲线的两个焦点，且，则的面积是______.

3．已知动圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_______.

4．已知双曲线的左．右顶点分别为A．B，点，若线段的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为______.

5．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________.

6．双曲线的两条渐近线的方程为______________________．

7．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于P，Q两点．若，且（其中O为原点），则双曲线C的离心率为_________．

8．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是__________.

9．双曲线的两条渐近线夹角是______.

10．已知双曲线与双曲线具有共同渐近线，且过点，则曲线的方程为____________

11．过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x轴且交C于M．N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围___________．

12．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为_______________.

13．双曲线的虚轴长是___________________.

14．已知双曲线=1的左．右焦点分别为F1．F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为______.

15．双曲线的渐近线方程是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】据题意，以为直径的圆过坐标原点，则，

由渐近线的对称性知，渐近线方程为，所以，

故．

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：由双曲线定义，可知，且，在中，由余弦定理和双曲线的定义，求得，结合面积公式，即可求解.

详解：设点为双曲线右支上的点，且

由双曲线定义，可知

则在中，由余弦定理可知：，

即，

即，解得，

则.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：根据题意利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.

详解：解：设，的圆心分别为，圆的半径为.

当圆与圆内切，与圆外切时，

这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支；

当圆与圆外切，与圆内切时，

这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，

，

所以方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查了圆与圆相切的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.本题解题的关键是由已知条件分类讨论得，进而得圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线即可得方程.

4．【答案】

【解析】分析：由题中条件，得到，由此得到，再由双曲线中，即可求出离心率.

详解：因为双曲线的左．右顶点分别为．，

则，，，

又，线段的垂直平分线过点，

所以，即，则，

所以，

因此.

故答案为：.

5．【答案】或1

【解析】分析：分别讨论，两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.

详解：因为双曲线的虚轴长为，

①当时，双曲线方程可化为，有，得；

②当时，双曲线方程可以化为，得；

故实数的取值为或1.

故答案为：或1.

6．【答案】

【解析】分析：直接根据渐近线方程的公式求解即可.

详解：解：由已知，

则双曲线的两条渐近线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程的求解，是基础题.

7．【答案】

【解析】分析：设，由已知得，，由双曲线的渐近线的斜率可求得a,b的关系，从而求得双曲线的离心率.

详解：取PQ的中点为B，因为，，所以为正三角形，设,则，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．

8．【答案】或的任意实数，例如4

【解析】分析：由题意可设，由对称性可得，可得，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．

详解：曲线上存在四个点满足四边形是正方形，

可设，由对称性可得，

则，

即，即，

由曲线的方程可得，

即有解，

即有，

可得，

解得或，

故答案为：或的任意实数，例如4.

【点睛】

本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．

9．【答案】60°

【解析】分析：根据的双曲线方程求得，然后利用其渐近线的斜率和倾斜角关系，求得倾斜角即可得解.

详解：因为双曲线方程为，

所以，

所以其渐近线的斜率为 ，

所以渐近线的倾斜角为 或，

所以两条渐近线夹角是60°

故答案为：60°

10．【答案】

【解析】分析：先由题中条件，设所求双曲线方程为，再由该双曲线过点，求出，即可得出结果.

详解：因为双曲线与双曲线具有共同渐近线，

所以可设双曲线的方程为，

又双曲线过点，

所以，即，

因此即为所求.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】由题意知：，，不妨假设，∵是锐角三角形，∴，即，且，∴，整理得，解得，故答案为：

12．【答案】9

【解析】分析：记双曲线的左焦点为，则，根据双曲线的定义可得，先求出，再由圆的性质，即可得出结果.

详解：记双曲线的左焦点为，则，

根据双曲线的定义可得，

则，

因此，

当，，三点共线时，取等号；

又为圆的圆心，即，且该圆的半径为，

则，即，

因为为圆上一点，

根据圆的性质可得，，

即，，，四点共线时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用双曲线的定义域，求出线段和的最值，属于常考题型.

13．【答案】6.

【解析】分析：根据双曲线的几何性质可以得出虚轴长.

详解：解：双曲线的虚轴长是，

所以双曲线的虚轴长是6.

故答案为：6.

【点睛】

双曲线中：

（1）实轴长为，实半轴长为；

（2）虚轴长为，虚半轴长为.

14．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的定义以及余弦定理联立得到，再根据三角形面积公式计算的面积.

详解：由双曲线的对称性可知，不妨设点在双曲线的右支上，则，

且满足 ，即，又因为，两式相减可得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，余弦定理与三角形面积公式，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.

15．【答案】y=±

【解析】分析：由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案．

详解：由双曲线的方程，可得，

又由焦点在轴上，故渐近线方程为，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．