人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质练习

【优选】2.5.2 椭圆的几何性质-2同步练习

一．填空题

1．设点P为椭圆上一点，．分别是椭圆C的左．右焦点，且的重心为G，如果成等差数列，那么的面积为___.

2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为_______.

3．已知△ABC的周长为20，且顶点，则顶点A的轨迹方程是______

4．椭圆的左右焦点分别为，点为其上的动点，当为钝角时，点的纵坐标的取值范围是____________.

5．椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆上的点M满足，且，则________．

6．如图，椭圆的上．下顶点分别为，，左．右顶点分别为，，若线段的垂直平分线恰好经过，则椭圆的离心率是__________.

7．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长．．成等差数列，则C的离心率为___________．

8．已知椭圆C：（），点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，直线与以坐标原点O为圆心，b为半径的圆相切于P点，且轴；则C的离心率为______.

9．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为______.

10．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.

11．如图，过椭圆的左焦点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点，连接BO并延长交椭圆E于C点，若，且，则该椭圆E的离心率为____________．

12．椭圆的焦距是______.

13．设椭圆的右焦点为，为坐标原点.过点的直线与椭圆的交点为(点在轴上方)，且，则椭圆的离心率为_____.

14．平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．

15．若方程表示椭圆，则m的取值范围是_____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】8

【解析】分析：根据条件计算出，可以判断△PF1F2是直角三角形，即可计算出△PF1F2的面积，由△PF1F2的重心为点G可知△PF1F2的面积是的面积的3倍，即可求解.

详解：∵P为椭圆C：上一点，且

，

又,

且

，

又，

∴易知△PF1F2是直角三角形，，

∵△PF1F2的重心为点G，

∴，

∴的面积为8.

故答案为：8

【点睛】

关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出，证明△PF1F2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求的面积，属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：根据椭圆标准方程的要求求解即可.

详解：解：，，即

故答案为：.

【点睛】

考查已知椭圆标准方程求参数的取值范围，基础题.

3．【答案】.

【解析】分析：由周长确定，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可.

详解：解：，所以，，

则顶点A的轨迹方程是.

故答案为：.

【点睛】

考查椭圆定义的应用，基础题.

4．【答案】

【解析】分析：首先根据为钝角得到，再结合在椭圆上，即可得到点的纵坐标的取值范围.

详解：设，焦点，.

因为为钝角，所以，

即.

整理得：.

因为点在椭圆上，

代入解得或.

又因为，所以点纵坐标的取值范围.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

5．【答案】

【解析】分析：设，，由得，可得，

由椭圆定义可得：，在中，结合余弦定理可得：，联立即可得解.

详解：

如图：

设，，

由得，可得，

又①，

在中，由余弦定理可得：

②，

①式平方减去②式得，

．

【点睛】

本题考查了椭圆基本量的计算，考查了向量数量积的应用，题型是解椭圆焦点三角形，利用了余弦定理和椭圆定义的结合解题，是固定题型，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：根据线段的垂直平分线恰好经过可得，即，即可求出椭圆的离心率.

详解：因为线段的垂直平分线恰好经过，所以，即，

所以，即，又，

所以，即，所以，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题.

7．【答案】

【解析】分析：由已知，设，，，据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a，由勾股定理，，可得选项.

详解：由已知，设，，，所以根据勾股定理有，解得；

由椭圆定义知，所以的周长为4a，所以有，；

在直角中，由勾股定理，，∴离心率．

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.

8．【答案】

【解析】分析：由题意在圆中得到，在直角三角形中得到，从而得到的关系，求解得到结果.

详解：设椭圆的半焦距为c.如图，

因为与圆O相切于P，所以.

因为，，轴，

所以，，所以.

因为，所以，因为，所以，因为，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查了基本运算能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】分析：若椭圆上存在点，使得，即可得到的最大值大于等于，即当为短轴端点时，即可，

详解：解：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得

则的最大值大于等于即可，

即当为短轴端点时，即可（如图），

，

又，所以，即

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查了转化思想．计算能力．属于中档题．

10．【答案】

【解析】分析：根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，

然后结合的自身范围解方程即可求出．

详解：∵成等比数列，∴，

∴，∴，

∴，又，∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

11．【答案】

【解析】分析：设椭圆的右焦点为，连，，，根据点的对称性和推出四边形为矩形，所以，设，利用椭圆定义得到和，根据勾股定理可得，从而可得离心率.

详解：设椭圆的右焦点为，连，，，如图：

因为关于原点对称，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，所以，

设，因为，所以，所以，，，

在直角三角形中，由得，

化简得，所以， ，

在直角三角形中，由得，即，

所以椭圆E的离心率.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

12．【答案】

【解析】分析：根据椭圆中，，的数量关系求解．

详解：解：椭圆的焦距是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．

13．【答案】

【解析】分析：转化条件为，设点，列方程可得点，结合椭圆定义可得，再由离心率的公式即可得解.

详解：因为点在直线上，所以，椭圆左焦点，

设点，则，解得或（舍去），

所以点，

所以，即，

所以椭圆的离心率.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是求出点的坐标，再结合椭圆的定义．离心率公式即可得解.

14．【答案】

【解析】分析：依题意在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，再根据在椭圆上，所以，即可得到齐次式，从而求出离心率的取值范围；

详解：解：椭圆的右焦点，右准线为，因为，

所以在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，因为在椭圆上，所以，即，同除得，，解得或，因为，所以，即

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的准线方程的运用，椭圆上一点到焦点的距离的最值，属于中档题．

15．【答案】

【解析】分析：由，且可得．

详解：方程表示椭圆？，解得且.

所以m的取值范围是

故答案为：.