高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系当堂检测题

【精挑】2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-2同步练习

一．填空题

1．若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______.

2．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

3．设和分别为抛物线的顶点和焦点，过的动直线与抛物线交于．两点，那么的最小值为______.

4．已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为_________.

5．已知抛物线：的焦点为，点的直线与抛物线交于．两点，且直线与圆交于．两点.若，则直线的斜率为_________.

6．双曲线的渐近线为正方形的边．所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点的直线与直线．的分别相交于．两点，则内切圆半径的最大值为______．

7．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则的值为___________.

8．已知为双曲线的右焦点，过点作垂直于双曲线的一条渐近线的直线，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线交于点，若，且的面积为（为坐标原点），则双曲线的标准方程为______.

9．直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率________.

10．已知，，是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线，，的斜率存在且分别为，，，则______．

11．已知，分别是椭圆的下顶点和左焦点，过且倾斜角为60°的直线交椭圆于点（异于点），且的周长为，则的面积为______．

12．已知抛物线，直线l过C的焦点F，直线l斜率，且直线l与抛物线C交于A，B两点，线段的中点为，O为坐标原点，则的面积为______.

13．直线被抛物线截得的弦长为_________．

14．若点是直线：上的动点，过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，，则______.

15．已知直线和双曲线相交于两点，为原点，则面积为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】或

【解析】分析：联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．

详解：联立，可得．

①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，

直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，

可得，

解得，满足条件．

综上可得：，．

故答案为，.

2．【答案】

【解析】分析：根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.

详解：因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：设过点的直线的方程为，与抛物线方程联立，先求得弦长.，再求得原点到直线的距离，然后由求解.

详解：由题意可得且直线的斜率一定存在，

设过点的直线的方程为，，，

联立方程，

消去得.

所以，，

故.

原点到直线的距离，

所以

故当时，有最小值.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.

详解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

设，所以，，所以，

所以，取等号时，

所以的最小值为，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

5．【答案】

【解析】分析：求出圆的圆心坐标，抛物线的焦点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解直线的斜率即可.

详解：由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以，所以.设直线：，代入得，设直线与抛物线的交点坐标为，，则，，则，所以，解得.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：根据双曲线和正方形的对称性．三角形的面积公式，结合基本不等式．直角三角形内切圆半径公式．分式型函数的单调性进行求解即可.

详解：由题意得，过．向轴作垂线，垂足分别为，．

设，，则，．

，所以有．

又，有．（当且仅当时等号成立）．

的内切圆半径令，，则在上单调递减．

∴当时，有最大值为．

故答案为：

【点睛】

关键点睛：利用三角形的面积得到等式是解题的关键.

7．【答案】

【解析】分析：联立方程利用韦达定理求得结合抛物线的定义求得弦AB的长，求得圆的半径，利用中点公式求得H到y轴的距离，进而计算得解.

详解：解：如图所示，抛物线的焦点F(1,0),直线l:,

与抛物线的方程联立消去y并整理得：,

设A,B的横坐标分别为,则,

∴,

∴

由,

取MN的中点为C,则CH⊥MN,|MC|=,

∴tan∠HMN=tan∠HMC=,

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的相交弦长问题，关键是利用抛物线的定义求得过焦点的直线与抛物线相交所得弦长.

8．【答案】

【解析】分析：根据向量关系可以求得在线段上，且，从而根据双曲线性质求得，，，方法一根据角平分线定理求得，从而结合面积求得参数a，b；方法二过点作的垂线，垂足为，由，从而求得，从而结合面积求得参数a，b；最后写出双曲线标准方程.

详解：解法一：由可得点在线段上，，

由双曲线焦点与渐近线的性质得，，，

易知平分，

∴，，

∵，∴，得，

∴，得，从而，

∴双曲线的标准方程为.

解法二：由得，点在线段上，，

由双曲线焦点与渐近线的性质得：，，，

过点作的垂线，垂足为，

则，

故，

，得，

∴，得，从而，

∴双曲线的标准方程为.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：通过双曲线几何性质找到，，在三角形中解得参数a，b的关系，从而求得标准方程.

9．【答案】

【解析】分析：设，，中点为，则，根据相交弦的中点为P，利用点差法求解.

详解：设，，中点为，

则，

两式相减得：，

即，

即，

因为，

所以，

所以，

故答案为：

10．【答案】0

【解析】分析：设，，则，，两式相减，得，可求得，同理可得，，再由是的重心，得，从而可计算出的值

详解：设，，则，，两式相减，得，所以，设，同理可得，．由于焦点是的重心，所以，故．

故答案为：0

【点睛】

关键点点睛：本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，本题考查逻辑思维能力．运算求解能力，解题的关键是设出点，，的坐标后，直接使用三角形的重心坐标公式求解，属于中档题

11．【答案】．

【解析】分析：由题意画出图形，证明直线l过椭圆的右焦点，由直线的倾斜角及斜率的关系求得c，可得椭圆方程和直线方程，联立求出M再由三角形面积公式求出面积.

详解：解：如图所示，

设右焦点为，，在椭圆上，则有，，

故，

又的周长为，∴，

即．．三点共线，

又直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为，

而，，即，则．

从而，则椭圆方程为．

直线的方程为．

联立，解得，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

解析几何问题常见处理方法：

(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；

(2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．

12．【答案】1

【解析】分析：得到直线l的方程，然后与抛物线方程联立，并使用韦达定理结合中点坐标公式可得，最后简单计算即可.

详解：设，，而抛物线的焦点，

于是直线的方程为，

与抛物线方程联立得

消去整理得：，可得.

根据中点坐标公式，有，，

即抛物线，且焦点，

∴，∴，

于是，∴的面积.

故答案为：1

13．【答案】.

【解析】分析：根据直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解.

详解：联立方程组，整理得，可得，

设直线与抛物线的交点为，

由弦长公式，可得，

即截得的弦长为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：设，得，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程知切线．的方程，求出直线的方程为，再联立抛物线方程，消元得一元二次方程结合韦达定理即可.

详解：解：设，，则，

∵，在上，∴，

∵的导数为，

所以切线的斜率为，切线的方程为，

即①，

同理得切线的方程为②，

设，代入①②得且，

∴直线的方程为，

联立得，∴，

∴，∴.

故答案为：.

【点睛】

解答直线与圆锥曲线的综合问题时，时常把两种线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

15．【答案】

【解析】分析：联立方程得关于的一元二次方程，根据韦达定理，代入弦长公式求解弦长，再计算点到直线的距离，利用计算面积即可.

详解：联立得，设，

则，所以

又因为点到直线的距离为：，所以

.

故答案为：.