人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质测试题

【基础】2.5.2 椭圆的几何性质-1作业练习

一．填空题

1．椭圆的左焦点的坐标为___________．

2．以．为焦点作椭圆，椭圆上一点到．的距离之和为10，椭圆上另一点满足，则______．

3．过点作圆的切线，己知分别为切点，直线恰好经过椭圆(中心在坐标原点，焦点在轴上)的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是___________.

4．已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，O是坐标原点，若，则 的面积是______________．

5．如图所示，已知A？B？C是椭圆上的三点，过椭圆的中心O，且.则椭圆的离心率为_______.

6．已知，，分别是椭圆的长半轴长．短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是_______________________.

7．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于．两点，，，，则椭圆的离心率为______．

8．已知．为椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点，且的最大值是，则实数的值是________.

9．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____.

10．设？分别是椭圆的左？右焦点，若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，则△的面积是___________

11．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是______.(从以下选择.椭圆.直线.圆.线段)

12．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．

13．已知是椭圆：的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作的垂线，依次交椭圆的上半部分于，设左焦点为，则______．

14．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则常数的取值范围为区间_________.

15．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左？右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由椭圆方程，求得，进而求得的值，即可求解.

详解：由题意，椭圆，可得，

又由，可得，所以左焦点的坐标为．

故答案为：

2．【答案】5

【解析】分析：根据椭圆的定义得出线段之间的长度关系，由此可得出答案．

详解：因为点P在椭圆上，所以，又，所以，

故答案为：5.

3．【答案】

【解析】分析：①当过点的直线斜率不存在时，求出切点的坐标；

②当直线斜率存在时，设方程为，利用直线与圆相切，求出，然后得到切线方程，联立直线与圆的方程求出切点坐标，再利用点斜式求出直线的方程，然后利用椭圆的性质，转化求解，，得到椭圆方程．

详解：解：①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为：切点的坐标；

②当直线斜率存在时，设方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即．直线方程与圆方程的联立，即，解得

所以切点的坐标；所以，所以直线方程为，即

，依题意，与轴的交点即为椭圆右焦点，得，与轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．

故答案为： ．

4．【答案】

【解析】分析：根据方程求得右焦点的坐标，根据题意列出方程组，求得的纵坐标的绝对值，计算三角形面积即可.

详解：解：由椭圆的方程可得：,

,如图所示，设,

因为在椭圆上，并且,点 P的坐标满足，

消去得 ，所以,

所以 的面积,

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的方程与性质，属基础题，关键是联立方程组求得点的纵坐标的绝对值，得到的边上高.

5．【答案】

【解析】分析：由B．C关于原点的对称性，所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，由此可得C点的横坐标，由AC⊥BC可求出C点的纵坐标，再由点C在椭圆上可求得a．b．c的一个关系式，结合椭圆中a2＝b2+c2，即可求出离心率．

详解：由|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，所以C点的横坐标为，设C（，y），

由AC⊥BC，则，又因为点C在椭圆上，代入椭圆方程得：，

所以，所以e，

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．

6．【答案】

【解析】由题有，即，

故，得或，而，∴.

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：先记椭圆的左焦点为，根据题中条件，由对称性，得到，，结合椭圆定义，得到，利用余弦定理，在三角形，列出等式求出；在三角形中，利用余弦定理，求出，进而可求出离心率.

详解：

记椭圆的左焦点为，

因为过原点的直线交椭圆于．两点，，，

根据对称性，可得，，

由椭圆定义可得，

在三角形中，，

所以由余弦定理可得：，

故，

解得，

在三角形中，，，

由余弦定理可得

所以，

因此．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于利用椭圆的定义，结合对称性，得到，再利用余弦定理，分别求出椭圆的长半轴和半焦距，即可求解离心率.

8．【答案】

【解析】分析：当点位于短轴的端点时取得最大值，由此可得的关系，利用椭圆的标准方程，即可求得的值.

详解：如图所示，当点位于短轴的端点时取得最大值，

因为的最大值是，所以，即，

所以，解得.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.

详解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，解得.

故答案为：

10．【答案】1

【解析】分析：记的中点为，根据向量数量积为得到与的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值，则面积可求.

详解：如图所示：

记的中点为，因为，所以，所以，

因为为的中点，所以，所以，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：圆锥曲线中的向量平行或垂直问题，一方面可以转化为线段或直线的位置关系，另一方面还可以通过坐标形式表示出对应的位置关系.

11．【答案】椭圆

【解析】分析：直接由椭圆的定义可得解.

详解：动点M满足，

所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆.

故答案为：椭圆.

12．【答案】（答案不唯一）

【解析】分析：不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程.

详解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为

因为长轴长等于离心率8倍，故，即

不妨令，则，

所以满足条件的一个椭圆方程为.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.

13．【答案】

【解析】分析：由椭圆的定义可得，再利用椭圆的对称性即可求和.

详解：椭圆的长轴，

设右焦点为，由椭圆的定义得，

由题意知点关于y轴对称分布，

所以，，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的定义及简单性质，属于中档题.

14．【答案】

【解析】分析：首先将方程化简为，再根据题意得到，解不等式组即可.

详解：，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，解得.

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：先根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得 的范围，再通分化简为关于的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．

详解：由已知得，故，

∵的面积为，∴，∴，

又，故，

∴，， ∴，

又而，即，

∴当时，最大，为；

当或时，最小，为，即，

∴，即.

即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.