高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系测试题

【精编】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-1同步练习

一．填空题

1．设是平面内不共线的向量，已知若A，B，D三点共线，则____.

2．已知向量且与互相垂直，则的值为___

3．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为          ．

4．已知，，且，则_______.

5．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．

6．已知空间向量，0，，，1，，则___________.

7．已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.

9．若，，则与共线的单位向量是____________.

10．直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点关于平面对称的点的坐标是________．

11．若，，三点在同一条直线上，则______，______.

12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．

13．已知空间向量，1，，，3，，则___________.

14．已知a．b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a．b上的单位向量，且

，则实数k的值为___.

15．在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由A．B．D三点共线．共线向量定理得关于的方程，即可得答案；

详解：，

又A．B．D三点共线，由共线向量定理得，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查共线向量基本定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：先根据空间向量坐标运算得，进而根据向量垂直的坐标表示解方程即可答案.

详解：解：根据向量的坐标运算得：

，

，

因为与互相垂直，

所以，即，

解方程得：.

故答案为：

3．【答案】

【解析】详解：如图：

连结，则，所以即为异面直线与所成角，设，则，，，，，由余弦定理得

4．【答案】

【解析】由得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值.

详解：，，且，则，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量垂直的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】由题意得出，由此可得出，解出实数．的值，由此可得出的值.

【详解】

，，且，，，解得，.

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.

6．【答案】，，.

【解析】分析：根据空间向量的坐标运算计算即可.

详解：解：，0，，，1，，

，0，，1，

，，，

故答案为：，，.

7．【答案】

【解析】分析：利用空间向量的三角形法则．平行四边形法则，把用．和线性表示即可．

详解：，，，，．

．

故答案为：

8．【答案】4

【解析】根据向量加法的三角形法则，即可判断出答案.

详解：根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.

所以4个式子的运算结果都是.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查向量的加法运算，属于基础题.向量的加法运算：三角形法则．平行四边形法则.

9．【答案】

【解析】分析：求出，再求出，利用单位向量的定义可得答案．

详解：，，

，

所以

根据单位向量的关系式，

可得单位向量．

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的模和单位向量，属于基础题．

10．【答案】

【解析】利用空间直角坐标系的性质直接求解．

【详解】

∵直三棱柱的所有棱长都是2，

∴，∴顶点的坐标是．则其关于的对称点为

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间直角坐标系中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

11．【答案】2    4 

【解析】由三点共线可知，根据向量的坐标运算可构造方程组求得结果.

【详解】

由题意得：，，

三点共线    ，即

，解得：

故答案为：；

【点睛】

本题考查根据三点共线求解参数值的问题，关键是能够通过三点共线得到向量共线的条件，从而利用向量的坐标运算构造出方程组求得结果.

12．【答案】825

【解析】以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．

【详解】

过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

如图所示，则M（2，2），A（0，8），

因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，

过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，

设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，

又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，

所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，

所以，

①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，

当且仅当4（k+3），即k3时取等号；

②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，

当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.

故答案为：825

【点睛】

本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

13．【答案】

【解析】分析：根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.

详解：空间向量，1，，，3，，

所以.

故答案为：.

14．【答案】6

【解析】根据向量垂直数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；

详解：由，得，

∴，∴，∴.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.

15．【答案】；

【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．

【详解】

取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．