人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系习题

【优编】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-1课时练习

一．填空题

1．若，，且 ，则______．

2．在空间中，四条不共线的向量．．．两两间的夹角均为.则的大小为__________.

3．已知，，且与互相垂直，则______.

4．设是平面内不共线的向量，已知若A，B，D三点共线，则____.

5．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到的距离都等于2.给出以下结论：

①；

②；

③

④；

⑤.

其中正确结论的序号是____________.

6．已知平面的一个法向量是，且平面经过点，若点是平面上任意一点，则点的坐标一定满足的方程是_________.

7．正四面体ABCD的棱长为a，点E．F分别是BC．AD的中点，则的值为_____________.

8．在空间坐标系中，点，点，则A，B两点的距离________．

9．已知向量，则向量的单位向量______．

10．已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.

11．已知向量且与互相垂直，则的值为___

12．化简：_________.

13．已知向量，，若，则实数λ=______．

14．在平行六面体中，，，，，则________.

15．若同方向的单位向量是________________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据向量平行坐标表示得方程，解得结果.

【详解】

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据向量平行求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．【答案】

【解析】分析：不妨设，向量．．共线，所以存在实数使得，在等式两边同时乘以得，然后在等式两边同时乘以．．，化简后相加可解得结果.

详解：不妨设，向量．．共线，所以存在实数使得，

则，

所以，

所以，即，

又，

所以，

所以，即，

同理可得，，

所以，

所以，所以，

所以或（舍）.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：根据空间向量基本定理得到后，在其两边同时乘以．．．，利用向量的数量积运算是解题关键.

3．【答案】

【解析】分别用坐标法表示与,再根据求解即可

【详解】

由题,可得,

因为与互相垂直,则,即,即

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的坐标表示,考查由向量垂直求参,考查运算能力

4．【答案】

【解析】由A．B．D三点共线．共线向量定理得关于的方程，即可得答案；

详解：，

又A．B．D三点共线，由共线向量定理得，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查共线向量基本定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】③④

【解析】根据空间向量的加减法及数量积的定义一一判断即可得解.

详解：

，①不正确；

，②不正确；

由题意可得，所以③正确；

又因为底面是边长为1的正方形，，

所以，而，于是，因此④正确，

，所以，所以⑤不正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的加减和数量积的运算，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：求出向量，利用平面的一个法向量是，通过向量的数量积为0，求解即可

详解：解：由题意可知，，

因为平面的一个法向量是，

所以，所以，即，

所以点的坐标满足的方程为，

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：，结合，由数量积定义计算．

详解：正四面体中，点E．F分别是BC．AD的中点，连接，则，

而，所以平面，又平面，所以，即，

所以．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．

8．【答案】5

【解析】根据空间中两点之间距离求解的坐标公式，代值计算即可.

【详解】

因为点，点，

故.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查空间两点距离计算的坐标公式，属基础题.

9．【答案】

【解析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标.

【详解】

，，

因此，向量的单位向量.

故答案为：.

【点睛】

本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】直线在平面上或直线与平面平行

【解析】由，可得，即可判断直线与平面的位置关系.

详解：由，所以.

又向量为平面的一个法向量.

所以直线在平面上或直线与平面平行.

故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.

【点睛】

本题考查了法向量的应用．数量积运算性质．空间线面位置关系，考查了推理能力，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：先根据空间向量坐标运算得，进而根据向量垂直的坐标表示解方程即可答案.

详解：解：根据向量的坐标运算得：

，

，

因为与互相垂直，

所以，即，

解方程得：.

故答案为：

12．【答案】

【解析】通过合并同类项将式子化简即可．

详解：原式

．

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．

13．【答案】-10

【解析】利用向量垂直的性质直接求解．

【详解】

解：∵向量，，，

∴=λ+6+4=0，

解得实数λ=-10.

故答案为：-10.

【点睛】

本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【答案】.

【解析】分析：在平行六面体中，利用对角线向量，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果.

详解：由平行六面体的特征可知，

所以

，

所以，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的运算，空间向量的平方等于向量模的平方，向量数量积的运算法则，属于简单题目.

15．【答案】

【解析】，与同方向的单位向量是

考点：空间向量的坐标运算；