备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题07 不等式与不等式组

目标点拨

1.了解不等式的意义，掌握不等式的概念及其基本性质；

2.理解不等式（组）的解以及解集的含义；会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示不等式（组）的解集；体会数形结合的思想；

3.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别；

4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题.

知识总结

一、不等式的概念、性质及解集表示

1．不等式

一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

2．不等式的基本性质

温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．

3．不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．

（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．

二、一元一次不等式及其解法

1．一元一次不等式

不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．

2．解一元一次不等式的一般步骤

解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．

三、一元一次不等式组及其解法

1．一元一次不等式组

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．

2．一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．

3．一元一次不等式组的解法

先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．

4．几种常见的不等式组的解集

设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：

总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：

（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；

（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；

（3）求一元一次不等式组的最小整数解；

（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．

四、列不等式（组）解决实际问题

列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：

①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．

总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．

经典例题

1．（2020•衢州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2020•嘉兴）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2020•杭州）若a＞b，则（　　）

A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1

4．（2020•舟山）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（　　）

A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．

5．（2020•宁波）不等式x的解为（　　）

A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1

6．（2020•黔东南州）不等式组的解集为　2＜x≤6　．

7．（2020•温州）不等式组的解为　﹣2≤x＜3　．

8．（2020•温州）不等式组的解为　1＜x≤9　．

9．（2020•金华）不等式3x﹣6≤9的解是　x≤5　．

10．（2020•绍兴）不等式3x﹣2≥4的解为　x≥2　．

11．（2020•嘉兴）比较x2+1与2x的大小．

（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：

①当x＝1时，x2+1　＝　2x；

②当x＝0时，x2+1　＞　2x；

③当x＝﹣2时，x2+1　＞　2x．

（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．

12．（2020•金华）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．

13．（2020•湖州）解不等式组．

14．（2020•乐清市一模）某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号礼品500件，A型号礼品比B型号礼品多200件．已知三种型号礼品的单价如表：

（1）求计划购进A和B两种型号礼品分别多少件？

（2）实际购买时，厂家给予打折优惠销售（如：8折指原价×0.8），在计划总价额不变的情况下，准备购进这批礼品．

①若只购进B，C两种型号礼品，且B型礼品件数不超过C型礼品的2倍，求B型礼品最多购进多少件？

②若只购进A，B两种型号礼品，它们的单价分别打a折、b折，a＜b＜10，a，b均为整数，且购进的礼品总数比计划多300件，求a，b的值．

15．（2020•宁波模拟）2019年11月22日至23日，“一带一路”国际协商会在京举行．本届主题演讲及对话增加到150场左右，促成大量改善民生的热点领域项目签约．宁波一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？

（2）若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

16．（2020•永嘉县模拟）九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同．

（1）求A、B两种相册的单价分别是多少元？

（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册．

①有多少种不同的购买方案？

②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．

17．（2020•江北区模拟）随着宁波市江北区慈城古县城旅游开发的推进，到慈城旅游的全国各地游客逐年上升．深受当地老百姓喜爱的两种本土特产杨梅和年糕，也深受外地游客的青睐．现在，有两种特产大礼包的组合是这样的：若购买2筐杨梅和3盒年糕，则需花费270元；若购买1筐杨梅和4盒年糕，则需花费260元．（杨梅、年糕分别按包装筐和包装盒计价）

（1）求一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是多少元？

（2）如果需购买两种特产共12件（1筐或1盒称为1件），要求年糕的盒数不高于杨梅筐数的两倍，请你设计一种购买方案，使所需总费用最低．