备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题17 图形的相似

目标点拨

1.了解比例的基本性质、线段的比和成比例线段的概念；

2.理解黄金分割及平行线分线段成比例定理

3.了解相似三角形的概念；

4.掌握相似三角形的判定与性质；

5.会综合运用图形的相似解决一些实际问题.

知识总结

一、比例的相关概念及性质

1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．

2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．

3．比例的性质

4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．

二、相似三角形的判定及性质

1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；

3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

三、相似多边形

1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

四、位似图形

1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．

2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．

4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

经典例题

1．（2020•平阳县一模）图1是一种指甲剪．该指甲剪利用杠杆原理操作，使用者只需施力按压柄的末端，便可轻易透过锋利的前端刀片剪断指甲，它被按压后示意图如图2所示，上下臂OD＝OF，∠CEO＝90°，∠ABC＝135°，杠杆BC＝2mm，轴承CE＝9mm，未使用指甲剪时，点B，C在OD上，且EF比CD长1mm，则OE的长为　40　mm；使用指甲剪时，下压点A，当A′B′∥OF时，两刀片咬合，OD绕点O按逆时针方向旋转到OD′的位置，则OD与CE的交点从开始到结束时移动的距离CG为　　mm．

2．（2020•三门县一模）如图，点E在矩形ABCD对角线BD上，EF⊥BC于点F，连接AF，若BC＝5，EF＝2，则△ABF的面积为　5　．

3．（2020•椒江区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB＝2，AC＝2．P、Q分别为边AD、DC上的动点，D1是点D关于PQ的对称点，过点D1作D1F∥BC分别交AC、AB于点E、F，且满足D1E：D1F＝1：3，则D1F的最大值为　　．

4．（2020•湖州）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．

（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：APAC；

（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

5．（2020•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

6．（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

7．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

8．（2020•宁波）【基础巩固】

（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．

【尝试应用】

（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

9．（2020•上城区二模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是△ADO的重心．

（1）当菱形ABCD是正方形时，则PA＝　　，PD＝　　，PO＝　2　．

（2）线段PA，PD，PO中，是否存在长度保持不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．

（3）求线段PD，DO满足的等量关系，并说明理由．

10．（2020•婺城区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝6，AC＝8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点，AP＝t（t≥0），PH⊥AC于点H，连结DP并延长至点E，使得PE＝PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH．

（1）当点P与点A重合时，求证：△DEF∽△ABC；

（2）连结PF，若DHAD，求线段PF的长；

（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以D、F、H为顶点的三角形是等腰三角形？若存在请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

11．（2020•义乌市模拟）在矩形ABCD中，AB＝3．

（1）点E，F分别在边BC，CD上，

①点B，F关于AE所在的直线对称，且E为线段BC的一个四等分点，求线段AD的长度．

②已知FC＝2，以A，B，E为顶点的三角形与△EFC相似，设BE＝a，EC＝b，求a，b的关系式．

（2）已知BC＝4，点E，F分别在射线BC，直线CD上，以A，E，F为顶点的三角形与△EFC能否相似？若能，求CF的长；若不能，试说明理由．

12．（2020•东阳市模拟）如图，已知点A （0，8），B （16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．

（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．

（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．

（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

13．（2020•永康市一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．

（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；

（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；

（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由