备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题02 代数式及相关问题

目标点拨

1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.

2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.

3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.

4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.

知识总结

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“ · ”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

代数式

二、整式

1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3．整式：单项式和多项式统称为整式.

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6．幂的运算：am ·an= am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an= .

7．整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

  （2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc.

  （3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb.

8．乘法公式：

  （1）平方差公式：.

  （2）完全平方公式：.

9．整式的除法：

  （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.

  （2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

  （2）公式法：运用平方差公式：.

运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

  （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

  （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

  （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

       以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

经典例题

1．（2020年•浙江杭州）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．

【解析】根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．

则需要付费19元．

故选：B．

2．（2020年•浙江衢州）比0小1的数是（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．±1

【分析】根据题意列式计算即可得出结果．

【解析】0﹣1＝﹣1，

即比0小1的数是﹣1．

故选：B．

3．（2020年•浙江嘉兴）2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m．数36000000用科学记数法表示为（　　）

A．0.36×108 B．36×107 C．3.6×108 D．3.6×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解析】36 000 000＝3.6×107，

故选：D．

4．（2020年•浙江湖州）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（　　）

A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解析】将991000用科学记数法表示为：9.91×105．

故选：C．

5．（2020年•浙江温州）数1，0，，﹣2中最大的是（　　）

A．1 B．0 C． D．﹣2

【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．

【解析】﹣20＜1，

所以最大的是1．

故选：A．

6．（2020年•浙江金华）实数3的相反数是（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解析】实数3的相反数是：﹣3．

故选：A．

7．（2020年•浙江绍兴）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）

A．2 B．0 C．﹣2 D．

【分析】根据负数定义可得答案．

【解析】实数2，0，﹣2，中，为负数的是﹣2，

故选：C．

8．（2020年•浙江台州）无理数在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

【分析】由可以得到答案．

【解析】∵34，

故选：B．

9．（2020年•浙江杭州）（　　）

A． B． C． D．3

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．

【解析】，

故选：B．

10．（2020年•浙江衢州模拟）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（　　）

A．491 B．1045 C．1003 D．533

【分析】观察图中的数字发现规律：最上方的数字是连续奇数1，3，5…，左下方的数字为20，21，22…，右下方的数字＝左下方的数字+最上方的数字，据此解答即可．

【解析】观察已知图形中的数字间的规律为：

最上方的数字为：2n﹣1，

左下方的数字为：2n﹣1，

右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，

即为2n﹣1+（2n﹣1），

因为21＝2×11﹣1，

所以211﹣1＝1024，

所以m＝1024，

所以n＝1024+21＝1045．

故选：B．

11．（2020年•浙江温州）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（　　）

A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解析】1700000＝1.7×106，

故选：B．

12．（2020年•浙江绍兴）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　）

A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解析】2020000000＝2.02×109，

故选：B．

13．（2020年•浙江宁波）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（　　）

A．1.12×108 B．1.12×109 C．1.12×109 D．0.112×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解析】1120000000＝1.12×109，

故选：B．

14．（2020年•浙江宁波）实数8的立方根是　2　．

【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．

【解析】实数8的立方根是：

2．

故答案为：2．

15．（2020年•浙江衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　x2﹣1　．

【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．

【解析】根据题意得：

（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．

故答案为：x2﹣1．

16．（2020年•浙江衢州）计算：|﹣2|+（）02sin30°．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．

【解析】原式＝2+1﹣3+2

＝2+1﹣3+1

＝1．

17．（2020年•浙江金华）计算：（﹣2020）0tan45°+|﹣3|．

【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．

【解析】原式＝1+2﹣1+3＝5．

18．（2020年•浙江台州）计算：|﹣3|．

【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．

【解析】原式＝3+2

＝3．

19．（2020年•浙江湖州）计算：|1|．

【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．

【解析】原式＝21＝31．

20．（2020年•浙江嘉兴）（1）计算：（2020）0|﹣3|；

（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．

【分析】直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；

【解析】（1）（2020）0|﹣3|

＝1﹣2+3

＝2；

21．（2020年•浙江温州）（1）计算：|﹣2|+（）0﹣（﹣1）．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；

【解析】（1）原式＝2﹣2+1+1

＝2；

22．（2020年•浙江绍兴）计算：4cos45°+（﹣1）2020．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案；

【解析】原式＝241

＝221

＝1；