备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题03 分式的有关概念

核心考点03  分式的有关概念

目标点拨

1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.

2.利用分式的基本性质进行通分和约分.

3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题

知识总结

一、分式

1．分式的定义

（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．

（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．

【注意】①若B≠0，则有意义；

②若B=0，则无意义；

③若A=0且B≠0，则=0．

2．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．

3．约分及约分法则

（1）约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

（2）约分法则

把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．

【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．

4．最简分式

分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．

【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．

5．通分及通分法则

（1）通分

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

（2）通分法则

把两个或者几个分式通分：

①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；

②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．

【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

6．最简公分母

几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．

7．分式的运算

（1）分式的加减

①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．

用式子表示为：．

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

用式子表示为：．

（2）分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

用式子表示为：．

（3）分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

用式子表示为：．

（4）分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．

用式子表示为：为正整数，．

（5）分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

二、二次根式

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．

（2）最简二次根式

 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

（3）同类二次根式

 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

（1）≥ 0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

（2）二次根式的乘除

乘法法则：；

除法法则：．

（3）二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

经典例题

1．（2020•金华）分式的值是零，则x的值为（　　）

A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5

2．（2020•湖州）计算，正确的结果是（　　）

A．1 B． C．a D．

3．（2020•台州）计算的结果是　　．

4．（2020•湖州）化简：　　．

5．（2020•衢州）计算：　　．

6．（2020•黔东南州）（1）计算：（）﹣2﹣|3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；

（2）先化简，再求值：（a+1），其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．

7．（2020•遵义）化简式子（x），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．

8．（2020•铜仁市）（1）计算：2（﹣1）2020（）0．

（2）先化简，再求值：（a）÷（），自选一个a值代入求值．

9．（2020•舟山）小明解答“先化简，再求值：，其中x1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

10．（2020•杭州）化简：1

圆圆的解答如下：

1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

11．（2020•温州）计算：

（1）|﹣6|（1）0﹣（﹣3）．

（2）．

12．（2020•台州）先化简，再求值：，其中x．

13．（2020•余杭区一模）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．

（1）求被墨水污染的部分；

（2）原分式的值能等于吗？为什么？

14．（2020•西湖区模拟）先化简，再求代数式（）的值，其中a＝2sin60°+tan45°．

15．（2020•温州三模）（1）计算：||+（1）0﹣（﹣4）．

（2）化简：．

16．（2020•衢州）先化简，再求值：，其中a＝3．

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