备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题06 分式方程

目标点拨

1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因；

2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根；

3.会列分式方程解决实际问题.

知识总结

一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

二、分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

三、增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

四、分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

⑥答．

经典例题

1．（2021·浙江东阳·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ）

A． B． C． D．

【思路点拨】

方程两边同时乘以，利用等式的性质即可求解．

【答案】

解：方程两边同时乘以可得：，

故选：D．

【点睛】

本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．

2.(2021·浙江·单元测试)下列关于x的方程中,是分式方程的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】
解：
解①得：x,
解②得：x>a+2,
∵不等式组有解，
∴a+2<6，
解得a<4；
解分式方程+=2,（a≠-2），
去分母得:a+1-3=2y-4，
解得y=1+，∵方程的解为非负数，
∴1+≥0即a-2；
综上可知，-2a<2，
∵a是整数，
∴a=-1或0或1或2或3；
∴-1+0+1+2+3=5．
故选C. 

【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件．
​​​​​​​解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
 

3．（2020•瓜州县一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）

A． B． 

C．+4＝9 D．

【思路点拨】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝9小时．

【答案】解：顺流时间为：；逆流时间为：．

所列方程为：+＝9．

故选：A．

【点睛】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．

4．（2020•平邑县一模）关于x的方程的解为x＝1，则a＝（　　）

A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3

【思路点拨】根据方程的解的定义，把x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．

【答案】解：把x＝1代入原方程得，

去分母得，8a+12＝3a﹣3．

解得a＝﹣3．

故选：D．

【点睛】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．

5.（2020•义乌市模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝，例如：1Θ2＝，则xΘ（﹣2）＝﹣1的解是（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5

【思路点拨】所求方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．

【答案】解：根据题中的新定义得：＝﹣1，

去分母得：1＝2﹣x﹣4，

解得：x＝﹣3，

经检验x＝﹣3是分式方程的解．

故选：B．

【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

6．（2020春•北仑区期末）若分式方程＝4﹣无解，则a的值为　﹣2　．

【思路点拨】根据题意得出方程无解时x的值，代入得出a的值．

【答案】解：去分母得：a＝4（x+2）﹣2，

整理得：x＝，

分式方程无解，则＝﹣2，

则a＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确什么时候分式方程无解．

7．（2020秋•正定县期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的值为　m＞﹣2且m≠4　．

【思路点拨】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据解为正数，得不等式，求解不等式即可．

【答案】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，

整理，得6x＝m+2

解得x＝

∵方程的解为正数，且x≠1

∴＞0且≠1

解得m＞﹣2且m≠4．

故答案为：m＞﹣2且m≠4．

【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的解法．本题易错，易忘记分母不等于0时m的值．

8．（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程，过程如下：

第一步：方程整理

第二步：去分母…

（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　分式的基本性质　、　等式的基本性质　；

（2）请把以上解分式方程过程补充完整．

【思路点拨】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；

（2）写出正确的解题过程即可．

【答案】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．

故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；

（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，

去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，

移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，

合并得：﹣2x＝﹣6，

系数化为1得：x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解．

【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．

9.（2020•翁牛特旗模拟）解方程：﹣＝．

【思路点拨】观察可得最简公分母是（x2﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【答案】解：方程的两边同乘（x2﹣1），得

x（x+1）﹣2（x﹣1）＝4，

解得x＝﹣1或2．

检验：当x＝﹣1时，（x2﹣1）＝0，

∴x＝﹣1是原方程的增根．

当x＝2时，（x2﹣1）＝3≠0，

∴原方程的解为：x＝2．

【点睛】本题考查了分式方程解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

10．（2020•滨州模拟）数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣＝﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是　15　．

【思路点拨】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x相当于已知规律中的15．

【答案】解：∵x＞5

∴x相当于已知调和数15，

代入得，﹣＝﹣，

解得，x＝15．

经检验得出：x＝15是原方程的解．

故答案为：15．

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，未知调和数利用已知调和数来解得．

11.（2020•下城区一模）解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：

解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．

∴原方程的解为x＝4．

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

【思路点拨】圆圆的解答有误，原因是去分母时﹣2没有乘以（x﹣2），写出正确的解答即可．

【答案】解：圆圆的解答错误，

正确解答为：

方程整理得：＝﹣﹣2，

去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

去括号得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，

移项合并得：x＝2，

经检验x＝2是增根，分式方程无解．

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

12（2020•甘肃模拟）如图，点A、B在数轴上且点A在点B的左侧，它们所对应的数分别是和．

（1）当x＝1.5时，求AB的长．

（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．

【思路点拨】（1）表示出AB的长，将x代入计算即可；

（2）根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．

【答案】解：（1）根据题意得：﹣＝，

当x＝1.5时，AB＝＝3；

（2）根据题意得：﹣＝3，

去分母得：2﹣x+1＝6﹣3x，

解得：x＝1.5，

经检验x＝1.5是分式方程的解．

【点睛】此题考查了解分式方程，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（2020春•兰州期末）分式方程＝﹣3有增根，则增根为　2　，a为　1　．

【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，进而确定出a的值．

【答案】解：去分母得：a＝x﹣1﹣3x+6，

由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2；

把x＝2代入整式方程得：a＝1，

故答案为：2；1

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14.（2020•武威模拟）若分式方程2+＝有增根，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝2代入计算即可求出k的值．

【答案】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，

由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，

解得：k＝1．

故选：C．

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

15．（2020•甘南县模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　m≥2且m≠3　．

【思路点拨】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．

【答案】解：去分母得，

m﹣3＝x﹣1，

解得x＝m﹣2，

由题意得，m﹣2≥0，

解得，m≥2，

x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，

所以m的取值范围是m≥2且m≠3．

故答案为：m≥2且m≠3．

【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．

16.（2020•拱墅区校级模拟）（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．

（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．

【思路点拨】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．

【答案】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得

2（x+2）+mx＝3（x﹣2）

∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），

∴原方程增根为x＝±2，

∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．

把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．

综上，可知m＝﹣4或6．

（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x

解得：x＝，

∵解为正数，

∴，

∴2﹣a＞0，

∴a＜2，且x≠2，

∴a≠﹣4

∴a＜2且a≠﹣4．

【点睛】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

17.．（2020•萧山区一模）某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．

（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？

（2）若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？

【思路点拨】（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）设甲工厂加工生产y天，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．

【答案】解：（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，

根据题意得：+4＝，

去分母得：240+6x＝360，

解得：x＝20，

经检验x＝20是分式方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝30，

则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；

（2）设甲工厂加工生产y天，

根据题意得：2.8y+2.4×≤60，

解得：y≥9，

则少应安排甲工厂加工生产9天．

【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．

18（2020•上城区一模）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）

A．﹣＝5 B．﹣＝ 

C．﹣＝5 D．﹣＝

【思路点拨】设提速前车辆平均速度为xkm/h，根据题意可得等量关系：提速前行驶22km所用时间﹣提速后行驶22km所用时间＝小时，然后列出方程即可．

【答案】解：设提速前车辆平均速度为xkm/h，由题意得：

﹣＝，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

19．（2020•温岭市校级一模）某市要筑一水坝，需要在规定天数内完成，如果由甲队去做，恰能如期完成；如果由乙队去做，需超过规定天数三天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独自做，恰好在规定天数内完成．设规定的天数为x，下面所列方程正确的是（　　）

A．                 B． 

C． D．

【思路点拨】设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天，根据甲队完成的部分+乙队完成的部分＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【答案】解：设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天，

依题意，得：+＝1．

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．