备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题16 视图与投影

目标点拨

1.了解三视图的概念，会画常见几何体的三视图，能根据视图描述简单的几何体；

2.掌握常见几何体的展开图，理解展开图与视图的区别，能利用展开图将空间几何问题转化为平面几何问题；

知识总结

一、投影

1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．

2．平行投影、中心投影、正投影

（1）中心投影：在点光下形成的物体的投影叫做中心投影，点光叫做投影中心．

【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光近的物体的影子短，离点光远的物体的影子长．

（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．

【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．

（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．

二、视图

1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．

2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．

3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．

【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．

3．三视图的画法

1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．

2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．

三、几何体的展开与折叠

1．常见几何体的展开图

2．正方体的展开图

正方体有11种展开图，分为四类：

第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；

第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．

1．（2021•台州）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】找到从正面看所得到的图形即可．

【答案】从正面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，形成一个“田”字．

故选：B．

【点晴】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

2．（2021•宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路点拨】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．

【答案】从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．

故选：C．

【点晴】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．

3.（2020•湖州）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据两个视图是三角形得出该几何体是锥体，再根据俯视图是圆，得出几何体是圆锥．

【答案】∵主视图和左视图是三角形，

∴几何体是锥体，

∵俯视图的大致轮廓是圆，

∴该几何体是圆锥．

故选：A．

【点晴】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．

4．（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路点拨】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题．

【答案】该长方体表面展开图可能是选项A．

故选：A．

【点晴】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．

5．（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路点拨】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题．

【答案】该长方体表面展开图可能是选项A．

故选：A．

【点晴】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．

6．（2020•三门县一模）如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上（不考虑帽子的厚度）．则这个扇形的圆心角度数为　90　°．

【思路点拨】可设正三角形的边长为a，双层扇形的圆心角为n．先计算出圆锥的底面圆的周长＝πa，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长的一半，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为πa，半径为a，然后利用弧长公式得到关于n的方程，解方程即可．

【答案】解：设正三角形的边长为a，双层扇形的圆心角为n．

∴圆锥的底面圆的周长＝πa，

由题意：πa＝，

∴n＝90°．

故答案为：90．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：l＝（n为扇形的圆心角，R为半径）．

7.（2020秋•双流区校级期中）已知如图为一几何体的三视图：主视图和左视图都是长方形，俯视图是等边三角形

（1）写出这个几何体的名称；

（2）若主视图的高为10cm，俯视图中三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．

【思路点拨】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；

（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．

【答案】解：（1）这个几何体是三棱柱；

（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即

C＝4×3＝12cm，

根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：

S＝12×10＝120cm2．

答：这个几何体的侧面面积为120cm2．

【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．

8．（2019秋•漳州期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形．其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分．根据你所学的知识，回答下列问题：

（1）阿中总共剪开了几条棱？

（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；

（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积．

【思路点拨】（1）根据总共12条棱，其中有4条未剪开，即可得到阿中总共剪开了8条棱．

（2）依据展开图的特征，即可得到4种粘贴方法（答案不唯一）；

（3）设高为xcm，则宽为（4﹣x）cm，长为[7﹣（4﹣x）]＝（3+x）cm，依据等量关系列方程求解即可得到x的值，进而得出长方体的体积．

【答案】解：（1）总共12条棱，其中有4条未剪开，故阿中总共剪开了8条棱．

（2）答：有4种粘贴方法．

如图，四种情况：

（3）设高为xcm，则宽为（4﹣x）cm，长为[7﹣（4﹣x）]＝（3+x）cm，

∴4+（3+x）＝8，

解得：x＝1，

∴体积为：（3+1）×（4﹣1）×1＝12cm3，

答：这个长方形纸盒的体积为12cm3．

【点睛】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征．

9.（2020秋•锦江区校级期中）由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，

（1）请画出它的三视图？

（2）请计算它的表面积？（棱长为1）

【思路点拨】（1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，依此画出图形即可；

（2）查出从前后，上下，左右可以看到的面，然后再加上中间空两边的两个正方形的2个面，进行计算即可求解．

【答案】解：（1）如图所示：

（2）从正面看，有5个面，从后面看有5个面，

从上面看，有5个面，从下面看，有5个面，

从左面看，有3个面，从右面看，有3个面，

中间空处的两边两个正方形有2个面，

∴表面积为（5+5+3）×2+2＝26+2＝28．

【点睛】考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从物体的正面，左面看得到的图形，（2）中要注意中加空处的两边的两个正方形的两个面也是表面积的一部分，容易漏掉而导致出错．

10（2020•龙湾区二模）某六角螺帽毛坯如图所示，它的俯视图是（　　）

A．B． C． D．

【思路点拨】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【答案】解：从上面看是一个正六边形，六边形的中间有一个圆．

故选：A．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

11.（2020•瑞安市一模）如图物体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【答案】解：从正面看是一个梯形，

故选：C．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

12.（2020•嵊州市模拟）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路点拨】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【答案】解：从左边看，是两个同心圆．

故选：D．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

13.（2020•三门县一模）如右图是由六个相同小正方体搭成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【答案】解：从正面看有3列，左起第一列3个正方形，第二列和第三列的底层均为1个正方形．

故选：B．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

14.（2020•朝阳区三模）在如图所示的几何体中，主视图是三角形的是　③　．（填序号）

【思路点拨】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．

【答案】解：①的主视图是矩形；②的主视图是矩形，③的主视图是等腰三角形．

∴主视图是三角形的是③．

故答案为：③．

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

15.（2020•金华二模）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（　　）

A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2

【思路点拨】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案．

【答案】解：由三视图，得：

OB＝8÷2＝4（cm），OA＝3cm，

由勾股定理得AB＝＝5（cm），

圆锥的侧面积×8π×5＝20π（cm2），

圆锥的底面积π×（）2＝16π（cm2），

圆锥的表面积20π+16π＝36π（cm2）．

故选：B．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，利用三视图得出圆锥是解题关键，注意圆锥的侧面积等于圆锥的底面周长与母线长乘积的一半．

16.（2020•湖州）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据两个视图是三角形得出该几何体是锥体，再根据俯视图是圆，得出几何体是圆锥．

【答案】解：∵主视图和左视图是三角形，

∴几何体是锥体，

∵俯视图的大致轮廓是圆，

∴该几何体是圆锥．

故选：A．

【点睛】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．

17.（2020•罗平县二模）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（　　）

A．B．C． D．

【思路点拨】由几何体的主视图和左视图可得出其组成部分，进而得出答案．

【答案】解：由题意可得：

该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形，故选项B正确．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的组成是解题关键．

18.（2018•崂山区校级自主招生）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（　　）

A．175π+450 B．700π+450 C．700π+1500 D．250π+1050

【思路点拨】根据三视图易得此几何体为圆柱和长方体的组合体，圆柱的体积＝底面积×高，把相关数值代入即可求解．

【答案】解：观察三视图发现该几何体为圆柱和长方体的组合体，其圆半径为5，高为7，长方体的长为15，宽为10，高为3

该几何体的体积为：15×10×3+π×5×5×7＝450+175π，

故选：A．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．

19.（2020•河北模拟）如图为一个用正方体积木搭成的几何体的三视图，俯视图中方格上的数字表示该位置上积木累积的个数．若保证正视图和左视图成立，则a+b+c+d的最大值为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

【思路点拨】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状，依此即可求解．

【答案】解：由正视图第1列和左视图第1列可知a最大为3，由正视图第2列和左视图第2列可知b最大为3，由正视图第3列和左视图第1列和第2列可知c最大为4，d最大为3，

则a+b+c+d的最大值为3+3+4+3＝13．

故选：B．

【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，关键看学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，用到的知识点是三视图．

20.（2020秋•修水县月考）一个长方体的三视图如图所示．若其俯视图为正方形，求这个长方体的表面积．

【思路点拨】根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，然后求出这个长方体的表面积．

【答案】解：如图所示：AB＝3，

∵AC2+BC2＝AB2，

∴AC＝BC＝3，

∴正方形ACBD面积为：3×3＝9，

侧面积为：4AC×CE＝3×4×4＝48，

故这个长方体的表面积为：48+9+9＝66．

【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．

21.（2020•江北区模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．

（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是　A　（填A或B）．

（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）

（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）

【思路点拨】（1）有“田”字格的展开图都不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；

（2）可利用“1、3、2”作图（答案不唯一）；

（3）根据裁剪线裁剪，再展开．

【答案】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，

故答案为：A．

（2）立方体表面展开图如图所示：

（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：

【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的展开图的11结构种形式是解题的关键．