备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题04 一元二次方程

目标点拨

1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；

2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；

3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；

4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.

知识总结

一、一元二次方程的概念

1．一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

2．一般形式

（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；

（2）一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；

②必须只含有一个未知数；

③所含未知数的最高次数是2．

二、一元二次方程的解法

1．直接开平方法

适合于或形式的方程．

2．配方法

（1）化二次项系数为1；

（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）把方程整理成的形式；

（5）运用直接开平方法解方程．

3．公式法

（1）把方程化为一般形式，即；

（2）确定的值；

（3）求出的值；

（4）将的值代入即可．

4．因式分解法

基本思想是把方程化成的形式，可得或．

三、一元二次方程根的判别式

1．根的判别式

一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．

2．一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；

（3）当时，方程没有实数根．

四、利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．

1．增长率等量关系

（1）增长率=增长量÷基础量．

（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．

2．利润等量关系

（1）利润=售价－成本．

（2）利润率=×100％．

3．面积问题

（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．

（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．

（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1                     图2                    图3

经典例题

1．（2021·浙江·九年级专题练习）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A． B．ax2+bx+c＝0

C．(x﹣1)(x﹣2)＝0 D．3x2+2＝x2+2(x﹣1)2

2．（2021·浙江台州·九年级期中）关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（　　）

A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤1

3．（2021·浙江杭州·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（    ）

A．和

B．和

C．和

D．和

4．（2019秋•姜堰区期末）方程x2＝x的根是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0 或x＝1 D．x＝0 或x＝﹣1

5.（2020•河北模拟）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）

A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8

6．（2020春•滨江区期末）若等式x2﹣2x+a＝（x﹣1）2﹣3成立，则a＝　﹣2　．

7．（2020春•湖州期末）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是　x2+x﹣6＝0　．

8．（2020春•柯桥区期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则的值为　4或1　．

9.（2020•义乌市校级模拟）解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．

10．（2020秋•镇原县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A． B．ax2+bx+c＝0 

C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2

11．（2020秋•淮安期末）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）

A．a≤ B．a＞0 C．a≠0 D．a＞

12．（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）x﹣7x+3＝0是一元二次方程，则a＝　﹣1　．

13．（2020春•萧山区期末）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为　3y2﹣10y+9＝0　．

14.（2020•鹿城区校级模拟）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2020﹣m2+m的值为（　　）

A．2014 B．2016 C．2018 D．2020

15.（2020•西湖区一模）当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是　1+　．

16.（2020•越城区一模）一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为　x1＝﹣5，x2＝1　．

17．（2020•竹溪县校级模拟）对于实数a、b，定义新运算“•”：a•b＝a2﹣ab，如4•2＝42﹣4×2＝8．若x•5＝6，则实数x的值是　x＝2或3　．

18．（2020秋•合川区校级期末）解下列方程：

（1）x2+4x﹣2＝0；

（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．

（2019•杭州模拟）已知方程kx2+（2k+1）x+k﹣1＝0．

（1）当k＝1时，求该方程的解；

（2）若方程有实数解，求k的取值范围．

19.（2020•湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根 

B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 

D．实数根的个数与实数b的取值有关

20．（2020•温州模拟）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　）

A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5

21（2020•西湖区一模）对于实数m，n，定义一种运算*为：m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，则a＝　0　．

22.（2020•阳新县校级模拟）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0

（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；

（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；

（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．

23．（2020春•慈溪市期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

24.（2020春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（　　）

A．（40+2x）（26+x）＝40×26 

B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6 

C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26 

D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6

25.（2020春•西湖区期末）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．

（1）用含有x的代数式表示y．

（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．

26.（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．