2021-2022学年浙江省丽水外国语实验学校高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年浙江省丽水外国语实验学校高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）

1.  设复数是虚数单位，则复数z的虚部为(    )

A.  B. 2 C.  D. 2i

2.  向量，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知在中，，，，则b等于(    )

A. 76 B.  C. 27 D.

4.  已知向量，，则(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

5.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，C是直角，则(    )

A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值
C. 有最大值也有最小值 D. 无最大值也无最小值

7.  已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与B的距离为(    )

A.  B. a km C.  D. 2a km

8.  在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则(    )

A.  B. z的实部是2
C. z的虚部是1 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限

10.  已知向量，，则(    )

A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为

11.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，角A的角平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 的面积为

12.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，且，则的面积为3

13.  已知，，则线段AB的中点坐标为______ .

14.  若向量与向量垂直，则实数______ .

15.  i是虚数单位，若复数z满足，则z等于______ .

16.  若且，则的值为______ .

17.  在中，，，，E，F为BC的三等分点，则__________.

18.  在中，点D是AC上一点，且，P为BD上一点，向量，则的最小值为__________.

19.  已知向量，，，，
若与共线，求实数t的值；
请用向量，表示向量

20.  已知向量，满足：，，
求与的夹角；
求

21.  如图，已知中，，，
求AC的长；
若，求AD的长．

22.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若
求角B的大小；
设BC的中点为D，且，求的取值范围．

23.  如图1，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB长为h米，灯杆AB长为1米，且灯杆与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直.

设灯罩轴线与路面的交点为C，若米，求灯柱OB长；
设米，若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为如图；
求的值；
求该路灯照在路面上的宽度OE的长.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，
复数z的虚部为
故选：
直接由复数的基本概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．
 

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的坐标形式，属于基础题．
由题可得到关于的方程，解方程即可．

【解答】

解：因为，所以，解得
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查余弦定理，由已知利用余弦定理即可得解．
【解答】
解：，，，

由余弦定理可得：，
解得：
故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法和数量积的坐标运算，属于基础题．
利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．

【解答】

解：因为，，
则，
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题．
直接根据正弦定理即可求出．
【解答】
解：，，，
由正弦定理可得，则，
故选：  

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的有关概念，考查借助于其它函数研究原函数的最值，属于基础题.
根据B的范围对所求进行化简，利用换元的方法得到二次函数y，再利用二次函数的性质解决问题即可．

【解答】

解：因为在中，C是直角，所以，所以
由题意可得，所以，
所以，
设，则，所以原函数为：，，
因为函数的对称轴，所以函数没有最值，即没有最值．
故选：

7.【答案】A 

【解析】解：依题意知，
在中，由余弦定理知
即灯塔A与灯塔B的距离为
故选A
先根据题意求得，进而根据余弦定理求得
本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：如图以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，
进而可得，，设
，

，当时，有最小值为；
当时，有最大值为，
由此可得的取值范围是
故选：
建立坐标系可得C、M、E的坐标，可得，由二次函数的知识可得．
本题考查正方形的性质、平面向量数量积的定义与坐标运算等知识，属中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，，故A正确，
对于B，z的实部是2，故B正确，
对于C，z的虚部是1，故C正确，
对于D，，
复数在复平面内对应的点在第四象限，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】

【分析】

根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式，逐个计算判断即可．
本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的垂直、共线以及夹角等的判断和计算方法，属于基础题．

【解答】

解：对于A：，解得，故A错；
对于B：，故，
故，故B正确；
对于C：得，故，故C正确；
对于D：得，故，故D错．
故选：

11.【答案】ACD 

【解析】解：因为，
由正弦定理可得，，
所以，
因为，
所以即，
，
 由角平分线定理可得，，
设，，则，，
中，由勾股定理可得，，
解可得，即，，
，
所以
故选：
由已知结合正弦定理及和角公式化简可求，然后结合锐角三角函数定义可得，再结合角平分线定理及勾股定理和三角形的面积公式对各选项进行判断即可．
本题综合考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线定理及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档试题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
对于A：当时，所以，根据正弦定理，整理得，故A正确；
对于B：由于，，，利用正弦定理：，解得，由于，所以或，故B错误；
对于C：若，整理得，故，结合余弦定理．整理得，故为钝角三角形，故C正确；
对于D：若，，且，利用余弦定理：，解得，，故，
所以，故D正确；
故选：
直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，设，
，，求得，，，
，，
则线段AB的中点坐标为，
故答案为：
由题意利用中点公式，向量的坐标运算，得出结论．
本题主要考查中点公式，向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】8 

【解析】解：向量与向量垂直，，求得，
故答案为：
由题意利用两个向量垂直的性质，求得x的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，
得
故答案为：
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
 

16.【答案】或 

【解析】解：在内，的值有2个，分别为，
即或
故答案为：或
根据余弦函数的图象与性质，求出内的值即可．
本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．
根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出的值．

【解答】

解：由于在中，，
则，可得，
所以，则，
由于E，F为BC的三等分点，
则，，，
又有，，
则，，
又由，，
故
故答案为：

18.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理、三点共线结论及基本不等式求解最值的应用，属于中档题．
利用B，P，D三点共线以及平面向量基本定理，可得，然后利用“1”的代换以及基本不等式，求解最值即可．

【解答】

解：因为，所以，
又B，P，D三点共线，所以，
则，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为
故答案为：

19.【答案】解：，，，
 与  共线，
，
解得
设、，则
解得 

【解析】本题考查了平面向量的基本定理和向量共线定理，属于基础题．
求出的坐标，根据共线定理列方程解出t；
设，列方程组解出x，y即可．
 

20.【答案】解：因为，，，
所以，所以，
所以；
又因为，所以、的夹角为；
因为，，，
所以，
所以 

【解析】根据平面向量数量积与夹角公式求出以及的值；
根据平面向量的数量积与模长公式计算即可．
本题考查了平面向量的数量积与夹角和模长的计算问题，是基础题．
 

21.【答案】解：在中，，，
由正弦定理得，
所以
在中，，，，
由余弦定理得，
所以 

【解析】本题考查余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用，属于较易题．
由题意结合正弦定理求出AC的长．
由的结论结合余弦定理求出AD的长．
 

22.【答案】解：因为，
由余弦定理可得，，
因为，
所以；
设，
在中，由，则，
由正弦定理以及，可得，
所以，
故

，
因为，
所以，
故
所以
故的取值范围为 

【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，两角和差公式和辅助角公式的应用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
利用余弦定理求出的值，再根据角B的取值范围，求出B即可；
设，先求出，然后利用正弦定理求出a和c，表示出，再利用两角和差公式和辅助角公式进行化简变形，然后利用正弦函数的性质求解取值范围即可．
 

23.【答案】解：过A作，垂足为E，过B作，垂足为F，
则，
，，
，

在四边形ABOC中，，，
，
在中，，
，

即灯柱OB高13米．

在中，由余弦定理得，
由正弦定理得，

，，

在中，由正弦定理得，
解得 

【解析】作，，求出AF，BF，得出CE的长，根据求出AE，从而得出OB的长；
在中，利用正弦定理求出即可得出；
利用差角公式计算，在中，利用正弦定理计算
本题考查了解三角形的实际应用，正余弦定理解三角形，属于中档题．