2021-2022学年浙江省杭州市富阳二中、场口中学两校高一（下）质检数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年浙江省杭州市富阳二中、场口中学两校高一（下）质检数学试卷（3月份）

1.  设，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若函数，则(    )

A. 0 B.  C. 1 D.

4.  已知，则夹角的余弦值等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么(    )

A.
B.  
C.  
D.  

6.  在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

7.  圣索菲亚教堂英语：坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为(    )
 

A. 20m B. 30m C.  D.

8.  若，且，那么是(    )

A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形

9.  下列两个向量，不能作为基底向量的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是(    )

A. ，，，有一解
B. ，，，有两解
C. ，，，有两解
D. ，无解
 

12.  已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(    )

A. 最小值为
B. 最大值为
C. 无最小值
D. 无最大值

13.  若则__________.

14.  复数为虚数单位的共轭复数是______.

15.  计算______.

16.  已知向量与的夹角为，，，则______.

17.  在平面直角坐标系中，已知，
若，求实数k的值；
若，求实数t的值．

18.  设函数
求；
求函数在区间上的值域．

19.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足
求角C的大小；
若，，求的面积．

20.  已知中，是直角，，点D是CB的中点，E为AB上一点．
设，，当，请用，来表示，
当时，求证：

21.  如图，某测量人员为了测量富春江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在富春江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：，，，，，米．
求BC的长；
求

22.  已知向量与共线，其中A是的内角．
求角A的大小；
若，求的面积S的最大值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．

【解答】

解：，

，
在复平面内对应的点为，在第三象限．
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．
利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．

【解答】

解：，，

故选：

3.【答案】D 

【解析】解：根据题意，函数，则，
则；
故选：
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：根据题意，设的夹角为，
因为，
所以，，，
所以，
故选：
根据题意，设的夹角为，求出、和的值，再计算夹角的余弦值．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点靠近，
，
故选：
根据向量的几何意义即可求出．
本题考查了向量的加减的几何意义，以及正方形的有关知识，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理，可得，
又，可得B为锐角，
则
故选：
由已知利用正弦定理可得，结合大边对大角可求B为锐角，进而即可求解B的值．
本题考查了正弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
求得AM，再在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得所求值．
【解答】
解：在直角三角形ABM中，
在中，，，
故，
由正弦定理，，
故
在直角三角形CDM中，

故选：  

8.【答案】B 

【解析】【解析】
对化简整理得，代入余弦定理中求得，进而求得，又由，可求，即，化简可得，结合，进而可判断三角形的形状．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
【解析】
解：，
，
，
，
，
根据余弦定理有，
，
，
，
，
又由，
则，即，
化简可得，，
即，
是等边三角形
故选
 

9.【答案】AC 

【解析】解：零向量与任意向量共线，不可以作为基底，
B.，，不共线，可以作为基底，
C.，，共线，不可以作为基底，
D.，，不共线，可以作为基底，
故选：
只有两向量共线就不能作为基底，所以找两个向量共线即可．
本题考查基底的概念，及共线向量基本定理，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：若，
对于A，由指数函数单调递增可得，故A错误，
对于B，由对数函数单调递增可得，故B正确，
对于C，由指数函数单调递减可得，故C正确，
对于D，由对数函数单调递增可得，即，即，故D错误，
故选：
直接利用指数函数和对数函数的单调性进行比较大小即可．
本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，是基础题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：A选项：，，只有一解，故A正确；
B选项：，有一解，故B正确；
C选项：，无解，故C错误；
D选项：，无解，故D正确．
故选：
由正弦定理，大边对大角，进行逐一判断．
本题考查了三角形解的个数问题，属于基础题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：建立如图所示的直角坐标系
则，，，
设，则，，，，
所以，
所以当，时，取得最小值，无最大值．
故选：
画出图形，求出相关点的坐标，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最值即可．
本题考查平面向量数量积的应用，函数的最值的求法，考查运算求解能力．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.
直接根据两角差的正切公式展开得到关于的方程，求解即可.

【解答】

解：
，解得，
故答案为

14.【答案】 

【解析】解：，
复数为虚数单位的共轭复数是
故答案为：
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

15.【答案】7 

【解析】解：原式
故答案为：
进行对数的运算即可．
本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】6 

【解析】解：根据题意，向量与的夹角为，且，，
则，
则，
则；
故答案为：6
根据题意，由向量数量积的计算公式可得，又由，代入数据计算变形即可得答案．
本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．
 

17.【答案】解：，，
，
，
，，解得
，
，，
解得 

【解析】本题考查了两个向量垂直和平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出t的值．
 

18.【答案】解：，

当时，，
，
 

【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，根据特殊角的三角函数值可求的值．
由已知可求范围，根据正弦函数的性质可得，即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】解：由正弦定理知，，
，
，
，
，，
，
由余弦定理知，，
，即，
解得，
，
的面积 

【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式与诱导公式，可得的值，从而得解；
先由余弦定理，求出c的值，再由，得解．
 

20.【答案】解：，，点D是CB的中点，，
，
，
证明：设，，则，
，，
，
中，是直角，，，，
，
 

【解析】利用平面向量的线性运算，再结合平面向量基本定理即可求解结论．
先求出和，再利用向量的数量积与垂直的关系证明即可．
本题考查了平面向量的基本定理，向量的线性运算，向量的数量积与垂直的关系，属于中档题．
 

21.【答案】解根据题意知，在中，，
在中，，
由正弦定理得：，
连接AB，，
在中，由余弦定理得：，
则 

【解析】连接AB，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AC的长，在直角三角形BCE中，求出度数，利用正弦定理求出BC的长；
在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．
本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 

22.【答案】解：因为向量与共线，
所以
所以
即，即
因为，所以，
故，即…分
由余弦定理，得，
又，
而，，当且仅当时等号成立，
所以…分 

【解析】由向量共线，得到从而由此能求出
由余弦定理，得，再由，能求出的面积S的最大值．
本题考查角的大小的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查向量共线、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．