2021-2022学年浙江省杭州二中、温州中学、金华一中联考高一（下）适应性数学试卷（5月份）（含答案解析）

2021-2022学年浙江省杭州二中、温州中学、金华一中联考高一（下）适应性数学试卷（5月份）

1.  若，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知，为单位向量．若，则(    )

A.  B.  C.  D. 5

3.  在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；
④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直．
其中正确的两个命题是(    )

A. ①、③ B. ②、④ C. ①、④ D. ②、③

4.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在正方体中，过点D作直线l与异面直线AC和所成角均为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为(    )

A.  B.  C. 2 D.

8.  在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设，是任一非零向量，则在下列结论中正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  设，为复数，下列命题中正确的是(    )

A.
B. 若，则与中至少有一个是0
C. 若，则
D.

11.  为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是(    )
 

A. 经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
B. 异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
C. 直线AD与平面DEF所成的角为
D. 球离球托底面DEF的最小距离为

12.  已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是(    )

A.
B. 直线AO不过BC边的中点
C. ：：1
D. 若，则

13.  若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的虚部为______.

14.  在锐角中，角A，B，C所对边的分别为a，b，c，已知边长，，则______；周长的取值范围为______.

15.  已知正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，点F为边BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为______.

16.  对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值．已知平面内非零向量，满足：，记且，，则______.

17.  已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过、、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为
求棱的长；
求几何体的表面积．

18.  已知向量、、在同一平面上，且，
若与垂直，求k的值；
若其中，当取最小值时，求向量与的夹角大小．

19.  如图，在长方体中，，，P是线段BD上一点．
若，求证：平面；
若二面角的大小为，，求直线和平面所成角的正弦值．

20.  浙江杭州即将举办2022年亚运会，举办方为给运动员创造温馨舒适的居住环境，进行精心设计．如图，是一个以AB为直径的半圆形湖，单位：百米，现在设计一个以AB为边的四边形ABCD，C，D在半圆上，设为圆心
在四边形ABCD内种植荷花，且，当为何值时，荷花种植面积最大？
为了显示美感，景观要错落有致的，要沿BC，CD和DA建造观景栈桥，且，当为何值时，观景栈桥总长L最长？并求L的最大值．

21.  在中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且三角形外接圆半径为
求C的大小；
若，求边长c的取值范围；
设的外接圆圆心为O，M是BC的中点，且满足，求a的值．

22.  已知，设函数，，，，
当时，求函数的值域；
记的最大值为M，
①求M；
②求证：

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：，
，
复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：因为，所以，解得，
所以，
所以
故选：
将两边平方，可得，再计算的值后，即可得解．
本题考查平面向量的运算，模长的计算方法，熟练掌握平面向量的线性运算，数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，线面平行的性质及线面垂直的性质，属于中档题.
我们可以从正方体去观察理解，①从空间两条直线的位置关系判断；②由线面垂直的性质定理判断；③从两平面的位置关系判断；④由射影的条数判断．
【解答】
解：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，①不正确；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质可得，②正确；
③若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则平面与平面可能平行，也可能相交，③不正确；
④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．
故选：  

4.【答案】D 

【解析】解：由，
则

故选：
由三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，计算可得所求值．
本题考查三角函数的求值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：在复平面内对应的点为，
，
，
，即，化简整理可得，
故选：
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
为异面直线AC和所成角，
又，
是等边三角形，故，
过B作直线l的平行线，
则当与的角平分线重合时，取得最小值
故选：
计算异面直线AC和所成角，则的最小值为异面直线AC和所成角的一半．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积问题，考查正弦定理的应用以及转化思想，属于中档题．
根据向量的线性运算求出是等边三角形，求出三角形的边长，再根据正弦定理求出外接圆的半径即可．

【解答】

解：为的重心，，
，且，
又，
是等边三角形，
，
，解得：，故，
又根据正弦定理，为外接圆半径，
则
故选

8.【答案】D 

【解析】解：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，，
，，
，，
由正弦定理得，
可得，
由锐角中，可得，


故选：
由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可得，求出C，根据正弦定理，余弦定理化简已知等式可求c的值，由正弦定理，三角函数恒等变换，可求，在锐角中，可得，再根据正弦函数的性质．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：，
是任一非零向量，
，，，
故选：
可根据向量加法的几何意义求出，，从而可判断每个选项的正误．
本题考查了向量加法的几何意义，向量平行的定义，向量长度的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：设，，
对于选项A：，，故选项A正确，
对于选项B：，
，则或，
与中至少有一个是0，故选项B正确，
对于选项C：取，，则满足，故选项C错误，
对于选项D：由复数模的运算性质可知，故选项D正确，
故选：
设，，利用复数的四则运算法则逐个分析各个选项的正误．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数模的运算性质，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了球的截面圆的计算问题，考查了异面直线成角和直线与平面成角计算问题，属于较难题．
A求出截面面积判断；B平移直线求成角余弦值判断；C求直线与平面成角判断；D求出最小距离判断．

【解答】

解：设球的半径为R，因为球的体积为，
所以，解得，

对于A，经过三个顶点A，B，C的球的截面圆，
即是与全等的三角形的外接圆，
其半径为，
则其面积为，所以A错；
对于B，作辅助线如图②，，，
所以为AD与CF成角或其补角，
延长FD至点Q，使得，连接PQ，则≌，M、N分别为QD、DE边中点，
所以，
所以，所以B对；
对于C，如图②，平面EDF，所以AD在平面DEF内射影在直线DE上，
于是即为直线AD与平面DEF所成的角，大小为，所以C对；
对于D，如图③，设球的球心为O，，
，，
所以球离球托底面DEF的最小距离为
，所以D对．
故选：

12.【答案】BCD 

【解析】解：对于A：，因，
即，则，可得 不正确；
对于B：设BC的中点为D，则，
若直线AO过BC的中点，则存在实数满足，
由选项A知，，而与不共线，
则有且，无解，即不存在，AO不过BC中点，B正确；
对于C：取点，，使得，
则，即点 O为的重心，如图，

 则，
而，同理可得：，
因此，，C正确；
对于D：由，得，而，
则，解得，
所以，D正确．
故选：
利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断A；假定AO过BC的中点，利用平面向量基本定理判断B；令，，结合重心性质计算判断C；利用数量积及运算律计算判断D作答．
用向量基本定理解决问题，选择一组基底，运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
的虚部为
故答案为：
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，可得，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
由正弦定理得：，所以，，
所以周长，
因为，
所以，
所以，
所以，所以
即周长的范围为
故容案为：，
利用三角函数恒等变形得到的值，即可求出A的值；
利用正弦定理把周长转化为，利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数恒等变形，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

15.【答案】24 

【解析】解：如图，由题意可知，，，且易知，，
将三棱锥补全成长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
设外接球的半径为R，则，
外接球的半径为，
又，，的EF边上的高为，
设三棱锥的内切球的球心为O，半径为r，
则根据等体积算法可得：，
，
解得，，
三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为，
故答案为：
先将三棱锥补全成长方体即可求出其外接球半径，再利用等体积法思想即可求出三棱锥内切球的半径，最后根据面积比为半径比的平方即可得解．
本题考查三棱锥的外接球与内切球问题，分割补形法，等体积法，方程思想，属中档题．
 

16.【答案】2 

【解析】解：记，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线OC的斜率为，
设，
所以，
先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，
那么，其中，
接着再让m变化，
即点D变化，求的最小值，
因为，当且仅当时取得等号，
综上，，
故答案为：
记，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断OC所在直线的斜率，设，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值．
本题考查了平面向量的性质以及最值的运算，属于中档题．
 

17.【答案】解：设，，，则，①
又为长方体外接球半径，②
又，③
由①②③，解得或或
棱长为2或3；
由知，，
若，，则，
其他情况，同理；
 

【解析】本题考查几何体的外接球的体积，表面积的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
设，，，利用已知条件列出方程组求解a，b，c即可．
求出，然后求解表面积即可．
 

18.【答案】解：，，
，，
与垂直，
，解得
其中，，，
，
，
当时，取得最小值，此时，
，
，即，
故向量与的夹角大小为 

【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，以及向量的数量积公式，即可求解．
根据已知条件，先求出，再结合向量模公式，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，以及向量的数量积公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：
，

，
，
平面，平面，，
又，，平面，
平面；
作，垂足为H，再作，垂足为Q，连结QH，
则即为二面角的平面角，，
不妨设，
，则，
，
，，，
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

，，，
设平面的法向量，
则由，得，取，得，
设直线和平面所成角为，
则直线和平面所成角的正弦值
 

【解析】用向量法证明，由线面垂直的性质定理得，从而可得线面垂直．
建立空间直角坐标系，由向量法求线面角．
本题考查线面垂直的证明，线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，所以，，


因为，所以，
所以，当，即时，荷花种植面积最大；
因为，所以，且，
由余弦定理得，

所以，，
令，
因为，所以，
，
所以，当时，即时，L取最大值12，即
当时，观景栈桥总长L取最长，L最大值为12百米． 

【解析】由，利用三角恒等变换得到，利用正弦型三角函数性质求最值即可；
由余弦定理求出BC，DA，可得，令换元后，利用二次函数的性质求最值即可．
本题考查了函数模型在实际中的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，由正弦定理得：，
因为，所以，
所以可化为，
因为，所以，所以
因为，
所以；
由三角形两边之和大于第三边可得：，即
由余弦定理得：，即
由基本不等式可得：，
所以，当时等号成立，
即，所以
综上所述：
所以边长c的取值范围为
由正弦定理得：，即
如图示：
 
因为三角形外接圆半径为，所以
因为，所以，即，所以
因为M是BC的中点，由向量的中线公式可得：，
所以，即
因为的外接圆圆心为O，，由同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，
所以，
 所以，
以，
即，
所以
在中，，，
由余弦定理得：，
即，
所以
在中，，，，
由余弦定理得：，
即，
解得：舍去
即 

【解析】利用正弦定理和三角函数恒等变形得到，即可求出C的大小；
利用余弦定理和基本不等式求出边长c的取值范围；
先由正弦定理求得，利用，求得在中利用余弦定理求出，在中，由余弦定理求出
本题考查了正弦定理、余弦定理及向量的数量积，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，
令，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以
①令，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
，
是对称轴为，开口向上的拋物线，
，
当时，，所以，
当时，所以，
当时，，所以，
综上所述：；
②证明：，
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以，
综上所述：所以 

【解析】令，转化为配方求值域即可：
①设，换元得，分类讨论即可求解；
②利用绝对值不等式的性质求出利用作差法与2M比较大小即可求证．
本题考查了函数的最值问题，属于难题．