安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一下学期3月月末诊断测试数学试题（含答案解析）

安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一下学期3月月末诊断测试数学试题

1.  若为实数，是纯虚数，则复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在梯形ABCD中，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知四边形ABCD的三个顶点，，，且，则顶点D的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，且点D为AB的中点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  向量、满足，，且，是和同向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  过内一点M任作一条直线，再分别过顶点作l的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点M是的(    )

A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心

9.  已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知、是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是(    )

A. 、的夹角可能为 B. 、的夹角可能为
C.  D. 或

11.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(    )

A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等边三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等腰三角形

12.  已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的是(    )

A.
B. 直线AO必过BC边的中点
C.
D. 且则

13.  若复数是正实数，则实数m的值为__________.

14.  已知平面单位向量、互相垂直，且平面向量，，，若，则实数__________.

15.  如图所示，等边中，已知，点M在线段BC上，且满足，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则__________.

16.  在平面上，，，，若，则的取值范围是__________.

17.  已知非零向量、，满足，，且

求向量、的夹角；

求

18.  已知向量

若，求x的值；

记，求的取值范围.

19.   已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足有三个条件：①；②；③其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：

求c；

设D为BC边上一点，且，求的面积.

20.  在中，，，，点E，F在BC边上且，

若，求AE的长;

若，求的值.

21.  在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为的面积，满足

求角B的大小；

求取值范围；

如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点D，使得线段，，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的概念，属于基础题.
根据复数的分类求出实数a，b后可得结论.

【解答】

解：由题意，，
，，
所以
故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的运算，几何图形的运用分解平面向量，属于基础题．
根据几何图形得出，注意向量的化简运用算．

【解答】

解：在梯形ABCD中，，


故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.
先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由得到向量坐标之间的关系，得到结果．

【解答】

解：设顶点D的坐标为，
，，，
，
又，

点D的坐标为
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，考查了运算能力，属于基础题.
根据已知条件可得，然后结合余弦定理求解即可.

【解答】

解：因为点D为AB的中点，且，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积与向量垂直的关系，向量的模，投影向量等知识点，属于中档题.

由，得，根据向量模的计算求出，再由，结合投影向量的定义进行求解即可.

【解答】

解：因为，所以，
即，

，

因为，

所以向量在向量方向上的投影向量为：
故选

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
利用余弦定理解出第二大的角，结合三角形的内角和得出答案．

【解答】

解：设，，，则
，

因为，所以，

所以，即最大角和最小角之和是
故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，通过函数关系求解得到最值，属于中档题．
根据，根据线性运算进行变换可求得，以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标值建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于t的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．

【解答】

解：由题意知：，
设，
所以，
所以，
又，
所以，
以AC与BD交点O为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，

所以，，，，，
设，
则，，
所以，
当时，取最小值，
故选

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于中档题.

本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.

【解答】

因为过内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有

如图：

则有直线AM经过BC的中点，

同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，

所以点M是的重心，

故选

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的运算及几何意义、向量垂直的判定与性质、向量的数量积，属于基础题.
先求得，可判断A，根据AB，BD不垂直判定B，计算数量积判定C，结合正方形的性质判定

【解答】

解：由条件可，所以， A正确；
，与不垂直， B错误；
， C错误；
，根据正方形的性质有，
所以， D正确．
故选

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题目主要考查了向量的数量积，具体涉及向量的求模运算，同时还考查了二次函数的最值问题，属于中档题.
的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值．

【解答】

解：，是两个单位向量，且的最小值为，

的最小值为，

的最小值为，

即在上有唯一一个解，

所以，所以

与的夹角为或，所以正确，

或3，

或，所以正确，
故选

11.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．
根据正余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．

【解答】

解：对于A，中，，由余弦定理可得角C为锐角，但不一定是锐角三角形，故A错误；
对于B，若，即，即，
即，即是等边三角形，故B正确；
对于C，若，则由正弦定理得，
即，则或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理，
所以，即，又因为A，C是三角形的内角，
所以，则是等腰三角形.故D正确.
故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的运算及向量的模的求法，属于中档题.
结合向量的加法运算及向量的数量积的运算性质分别判断即可.

【解答】

解：选项A，由，
得，
得，即，所以A正确；
选项B，由，
得，
设BC中点为D，E为AB中点，则，
则，设AO与BC交点为F，如图：

则∽，所以，
则，
所以，故B错误；
选项C，因为，
所以，
则，所以C正确；
选项D，因为，所以，
又，且，
则，
所以，所以D正确.
故选

13.【答案】3 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，属于基础题，
根据题意可知实部大于零，虚部为零，据此解出m即可.

【解答】

解：因为复数是正实数，

由，解得或，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，

所以实数m的值为

故答案为

14.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.
由向量平行，进而由向量共线定理列出等式，求解即可得出答案.

【解答】

解：，，
，即，
即，解得
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量基本定理和余弦定理的应用，属于中档题.
在中，利用余弦定理求得出AM，NC的长度，设，由P、C、N三点共线，可求出，设，同理可得，利用A、P、M三点共线，可知，进而在中，由余弦定理可求出，因为，由此可得答案.

【解答】

解：由题意得，，，，
在中，由余弦定理可知，，
即，解得，同理求出，
设，
，
、C、N三点共线，，解得，
，
若设，同理可得，利用A、P、M三点共线，可知，
，
在中，由余弦定理可知，

故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据，，，可知：四边形是一个矩形．以，所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设，点O的坐标为，点根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出．

【解答】

解：根据，，可知：四边形是一个矩形．
以，所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设，
点O的坐标为，点
，
，
变形为
，，
，
①
，
同理，
②
由①②可知：
，

故答案为

17.【答案】，
，即，
又，，设向量、的夹角为，
，
，
，
，
，即向量、的夹角为

，
 

【解析】本题主要考查了向量的数量积，向量的模，向量的夹角，属于中档题.
对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案.
先求出，然后开平方可得结果.
 

18.【答案】解：向量，

由可得：，即
 ， 

由

，，
，
的取值范围为

【解析】本题考查平面向量的运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质，考查辅助角公式以及余弦函数的值域，属于中档题．
由向量平行坐标公式，结合角的范围，即可得到x；
运用向量的数量积的坐标公式和辅助角公式，再由正弦函数的值域即可得到所求的最值．
 

19.【答案】解：因为，所以
因为，所以，
与矛盾，
所以①②中仅有一个正确，③正确，
此时，所以，
当①③正确时，
由，得此时无解，
当②③正确时，
由，得经检验满足
因为， D为BC边上一点，且，
所以，
所以 ，
所以 

【解析】本题考查辅助角公式、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
先运用辅助角公式求得进而求出，从而①②中仅有一个正确，③正确，再分类讨论，结合余弦定理求得
根据三角形的面积公式得到，进而得到的面积.
 

20.【答案】解：设，，

则，，，

所以，

，

同理可得，，

，

，，

同除以可得，

【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于中档题．
设，，利用向量的数量积以及向量的模求解即可．
求出中的向量表示，利用向量的数量积转化求解即可．
 

21.【答案】中，面积为，

又，，

所以，

所以，

又，

所以；

由得，，又是锐角三角形，得，

所以

，

由，所以，所以，

所以的取值范围是；

当取得最大值时，，解得；

令，，，

则，；

又，

，

，

当时等号成立；

面积的最大值为

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算和转化能力，属于较难题．
由余弦定理和三角形的面积公式化简已知等式，结合角的取值范围可求B的值；
由B的度数，利用三角形的内角和表示的度数，用A表示出C代入所求的式子中，求出的取值范围；
令，，，由正弦定理可得，由余弦定理可求，根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质可求面积的最大值．