安徽省六安市舒城中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案解析）

安徽省六安市舒城中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

1.  设集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “”是“函数在区间上为增函数”的.(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  设函数，则(    )

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

4.  若，则的最小值为.(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5.  已知，，，则的大小关系为.(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的大致图象为.(    )

A.   B.
C.   D.

7.  若都是锐角，且，，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件已知，(    )

A. 2019年 B. 2020年 C. 2021年 D. 2022年

9.  已知，函数在内单调递减，则的取值范围是.(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，若存在2个零点，则a的取值范围是  (    )

A.  B.  C.  D.

11.  定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是.(    )

A.  B.
C.  D.

12.  筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即时的位置时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为单位：，且此时点P距离水面的高度为单位：若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系如图，则h与t的函数关系式为.(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

13.  __________.

14.  已知，，则__________.

15.  设函数，若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________.

16.  已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数m的取值范围是__________.

17.  已知非空集合，集合，命题，命题

若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

当实数a为何值时，p是q的充要条件．

18.  已知函数是偶函数．
求实数a的值；
关于x的不等式在R上恒成立，求实数b的取值范围．

19.  已知函数

求的值;

在中，若，求的最大值.

20.  已知函数定义域为，且满足：①；②当时，有；③对任意都有

判断的单调性并证明你的结论；

解不等式

21.  如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点．设，长方形PQCR的面积为S平方米．

求S关于的函数解析式；

求S的最大值．

22.  我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．

求函数图像的对称中心；

请利用函数的对称性求的值．

已知函数在是单调函数，若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了交集及其运算，属于基础题.
分别化简集合A，B，再求交集，即可得解.

【解答】

解：由 ，可得，所以集合，因为为增函数，则当时，，所以集合，则
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了充要条件的判定方法、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
函数在区间上为增函数，可得，解得a即可判断出结论．

【解答】

解：函数在区间上为增函数，，解得，
又因为“”可推导出“”，所以“”是“函数在区间上为增函数”的必要条件，又“”不能推导出“”，则“”是“函数在区间上为增函数”的不充分条件，“”是“函数在区间上为增函数”的必要不充分条件.
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数与对数运算，考查学生计算能力，属于基础题.
利用分段函数，将自变量的值分段代入即可求解.

【解答】

解：因为，，即，

所以
故选：

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数求最值，属于基础题．
利用二次函数求最值即可．

【解答】

解：，
令，，所以二次函数的对称轴为，二次函数的图像开口向下，即，在对称轴上取最大值，所以，因为，，在端点处取得最小值，又当时，，当时，，所以，，的最小值为
故选：

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
关键是理解指数函数，与对数函数的性质，以及，即可得解.

【解答】

解：，，
故，所以
故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的应用，考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的奇偶性可排除选项B，C，根据函数值可排除选项

【解答】

解：由题意，得，故函数为偶函数，故B， C错误;
因为，，，所以当时，，故选项D错误.
故选：

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的关系以及两角和的三角函数公式，属于基础题.
根据条件分别求出、，即可求得答案.

【解答】

解：因为都是锐角，且，所以，
又因为，则，
所以；
则
故选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了对数的运算性质，属于基础题．
本题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过6万件，其实就是求在2015年的基础上再过多少年的年产量大于6万件，即求经过多少年．

【解答】

解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，
根据题意，得，即，两边取对数，得，
，即
从2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件．
故选

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的单调性，属于中档题.
根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，结合条件建立不等式关系进行求解即可.

【解答】

解：由，，得，，
即，，
即函数的单调递减区间为，，
在内单调递减，，即，
当时，，此时，
当时，不等式组无解，
则的取值范围是
故本题选：

10.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题．
由得，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.

【解答】

解：函数存在2个零点，
即关于x的方程有2个不同的实根，
即函数的图象与直线有2个交点，
作出直线与函数的图象，如图所示，

由图可知，，解得
故选

11.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，属于中档题.
由，是钝角三角形的两个锐角可得即，从而有，由满足函数为偶函数即可得，即函数的周期为2，因为函数在上是减函数，则根据偶函数的性质可得在单调递增，根据函数关于对称可知在单调递增，从而可判断.

【解答】

解：，是钝角三角形的两个锐角可得，即，

满足，函数关于对称，
函数为偶函数即，，即函数的周期为2，
又函数在上是减函数，则根据偶函数的性质可得在单调递增，
根据函数关于对称可知在单调递增，
故选

12.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了函数解析式的求解、函数的应用，主要考查了三角函数解析式的理解和应用，属于中档题．
根据题意得到以OP为终边的角为，得出点P的纵坐标为，从而得到点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系．

【解答】

解：因为，所以是以Ox为始边，为终边的角，
由OP在ts内转过的角为，
可知以Ox为始边，以OP为终边的角为，则点P的纵坐标为，
所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系是，
故选：

13.【答案】6 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，属于基础题.
根据对数运算性质化简计算即可.

【解答】

解：

故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
把给出的两个等式平方进行相应的变形后相加计算可得，从而求解出的值.

【解答】

解：，，

，，

即，①

②

将①+②得，

故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．
由题意可得恒成立，再由绝对值的意义可得的最小值为3，从而得到

【解答】

解：函数，若函数的定义域为R，对一切实数x恒成立．而表示实数x在数轴上的对应点到对应点的距离与它到2对应点的距离之和，它的最小值为3，故有
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质及恒成立与存在性问题，属于中档题.
由题意得，当时，  ，记，当，，记，根据，得，解得m的范围，同理讨论和讨论即可求出结果.

【解答】

解：由题意，函数 ， ，
根据二次函数的性质，可得当时， ，记，
当，在上是增函数，，
记
由对任意，总存在，使成立，
所以，则，解得，
当时，在上是减函数，
，记
由对任意，总存在 ，使 成立，
所以，则，解得，
当时，，又不满足题意.
综上，实数m的取值范围是
故答案为：

17.【答案】解：因为不等式化为，解得，所以，
因为p是q的充分不必要条件，则，
不等式化为，
由，由集合A是非空集合，得且，
①当或时，，则，
因为，所以，解得，故有；
②当时，，则，
因为，所以，解得，故有，
综上所述：实数a的取值范围为；
若p是q的充要条件，则，所以，和1时方程的两根.
所以由韦达定理得，解得 

【解析】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的判断，属于中档题．
利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合A，B，利用集合之间的关系，列不等式组，即可得；
利用集合相等，列方程组，即可得.
 

18.【答案】解：函数 是R上的偶函数，即，
对任意实数x恒成立，
 对任意实数x恒成立，即 对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，经检验，时，满足题意.
关于x的不等式 在R上恒成立，即在R上恒成立，
令，
由题意及知函数为偶函数，
故也为R上的偶函数，只需证明当时，
，当且仅当，即时，取等号，
，当且仅当时，取等号，
，即 ，，
即实数b的取值范围是  

【解析】本题主要考查不等式恒成立问题，函数奇偶性的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
由偶函数的性质即可求解a的值；
将不等式恒成立问题转化为在R上恒成立，令，利用基本不等式求出，即可求解b的取值范围．
 

19.【答案】解：
所以，
因为，所以，
由，，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，当，即时，的最大值为 

【解析】本题考查三角函数的最值，三角恒等变换等知识，属于中档题.
化简式子求出，代入计算即可.
先求出A的值，再化简即可得到最大值.
 

20.【答案】解：由题意，设，则，从而

，

故在上单调递增.

取得，，即

，

，又不等式可化为不等式

并且在上是单调递增函数，则，解得；

故不等式的解是

【解析】本题主要考查抽象函数，函数的单调性与单调区间以及不等式求解，属于中档题.
由题意，设，根据题设条件可以得到，即证得在上单调递增；
根据题设条件，取，可将原不等式化为不等式组，解之可得答案.
 

21.【答案】解：延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
 

由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，

由，可得，，

，，

故S关于的函数解析式为

令，可得，即，

又由，可得，故，

关于t的表达式为，又由，又，又，该二次函数的对称轴为，所以，函数值先减小后增大.
所以在端点处取最大值，当时，
当时，又
可知当时，S取最大值，最大值为平方米．

【解析】本题考查三角函数最值问题，换元后新函数的定义域一同改变，属于中档题．
由题意可得，，将用表示，易得到S关于的函数解析式．

由可知S是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换．

22.【答案】解：设函数图像的对称中心为，
设，则为奇函数，
且，故，
即，即，
整理得，
故解得
所以函数图像的对称中心为
由知函数图像的对称中心为，
故，
所以且，
所以
在上单调递增，
在区间上的值域为，
则，化简得
即方程有两个大于2的不等实根，
令，，则，有两个大于0的不等实根，
，解得 

【解析】本题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题.
设函数图象的对称中心为，根据题意可得，求解即可；
根据可得，即可求出答案；
依题意，在区间上的值域为，得，即方程有两个大于2的不等实根，令，则，有两个大于0的不等实根，求解即可.