2021-2022学年浙江省温州市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省温州市某校高二（下）月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A=1,2,7,8，集合B=2,4,6,8，则A∩B=（ ）
A.{2}B.4,6
C.2,8D.1,2,4,6,7,8

2. 函数fx=2x+1+1x2的定义域为（ ）
A.[−12,0)∪(0,+∞)B.−12,0
C.−12,0∪0,+∞D.[−12,+∞）

3. 下列各式中正确的是（ ）
A.lga6lga3=lga2B.lg3+lg5=lg8
C.lgx2=2lgxD.lg5x3=35lgx

4. 若l1,l2是空间中两条不相交的直线，则它们的位置关系是（ ）
A.平行B.异面C.平行或异面D.垂直或平行

5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=45∘,B=60∘,a=22，则b的值为（ ）
A.22B.23C.26D.46

6. 为了得到函数y=csx的图像，可以将函数y=csx−12的图像（ ）
A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度
C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长

7. 神舟13号飞船的发射，中国机械臂又火了一把，如图是机器人手臂的简易图．该手臂分为三段，分别可用向量a→，b→，c→代表．若用向量d→代表整条手臂，则（ ）

A.|a→|+|b→|+|c→|=|d→|B.|a→|+|b→|=|c→|+|d→|
C.a→+c→+b→−d→=0→D.d→2=a→2+b→2+c→2

8. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的初中生近视人数分别为（ ）

A.360，160B.360，48C.360，80D.400，40

9. 已知函数fx=ex+1,x≤0|lgx|,x>0，方程fx−m=0有3个不同的实数根，则m的取值范围为（ ）
A.0
10. 下列说法正确的有（ ）
A.∃a∈R，使得函数fx=|x2−2ax+b|为偶函数
B.命题“∃x∈R,x2+x+1>0"的否定是∀x∈R,x2+x+1<0
C.两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件
D.函数fx=−1x在其定义域内是增函数

11. 函数y=xsin2xtanx的部分图象大致是（ ）
A.B.
C.D.

12. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，N为DD1的中点，则直线CN与A1C1所成角的余弦值为（ ）

A.12B.105C.155D.255

13. 已知实数a，b满足a2+b2=2，则a4−ab+b4的最大值为（ ）
A.1B.338C.4D.3

14. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2).当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，试求以该半径R的球的表面积取值可能为 （ ）

A.45SB.8SC.85SD.2S

15. 若复数z不是纯虚数，且zz+2=1+2i，则（ ）
A.z=−2+iB.z的虚部为−1C.|z|=5 D.z>z
二、多选题

已知a∈R，sinα+π4=12，那么1tanα的可能值为（ ）
A.2+3B.−2+3C.2−3D.−2−3

已知λ∈R，函数fx=2x−5,x≥λx2−4x+3,x<λ，不等式fx≤x−1在x∈0,4上恒成立，则λ的可能取值为（ ）
A.−2B.−1C.1D.2

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点A1,0作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示，△AOP的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于△AOT的面积，则下列错误的有（ ）

A.∀x∈0,π2,sinx>x
B.∃x∈0,π2,sinx>tanx
C.∀x∈0,π2,x+csx<π2
D.∀x∈−π2,π2，函数y=sinx−x有三个零点
三、填空题

杭州市举办亚运会一周年倒计时活动，某学校团委组织教师报名志愿者服务，现有30名教师报名，其中英语老师有20人，现随机从这30名教师中抽取1名教师，则抽到英语老师的概率为________.

已知向量a→，b→，满足a→⋅b→=1，则|a→|+|b→|的最小值为________.

著名数学家、物理学家牛顿曾提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1∘C，空气的温度是θ0∘C，那么tmin后物体的温度θ（单位：​∘C）可由公式θ=θ0+θ1−θ0e−kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，e是自然对数的底数．若当空气温度为5∘C时，10min以后物体的温度从85∘C变到45∘C.再过20min 后，物体的温度变为________.

已知函数y=2−cs2x4sinx+1x∈0,π的图象与直线y=m有且仅有两个公共点，则实数m的取值范围为________.
四、解答题

已知函数fx=3sinxcsx+sin2x+cs2x,x∈0,π2.
(1)求fx的单调递增区间；

(2)若方程fx−a=0有且仅有一个根，求实数a的取值范围．

自由式滑雪空中技巧是2022年北京冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的6名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行决赛一跳定胜负，裁判员根据运动员的腾空、动作和着陆完成情况进行打分，最终决赛成绩作为该站比赛成绩，现有运动员甲、乙二人在2021赛季自由式滑雪空中技巧世界杯分站比赛决赛成绩得分如下表（分数都已保留整数处理），
经统计发现，乙运动员五站下来的参赛得分均值为x乙=110分.
(1)求甲运动员在2021赛季五站下来得分的均值及方差；

(2)若乙运动员比甲运动员的发挥稳定性好，试求第三站得分x的取值范围．

已知函数fx=x2+ax−a−1a∈R.
(1)解关于x的不等式fx≤0；

(2)设gx=a+1,hx=|fx+gx|，记Ma为函数hx在0,1上的最大值，求Ma的最小值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年浙江省温州市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A∩B={2,8}．故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
要使fx有意义，则2x+1≥0x2≠0，解得x≥−12，且x≠0，
∴ fx的定义域为[−12,0)∪(0,+∞).
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】lga6lga3=lg36，A错误；lg3+lg5=lg3×5=lg15，B错误；2lgx=lgx2x>0≠lgx2，C错误；lg5x3=lgx35=35lgx，D正确．故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
两条直线平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
l1，l2不相交，即l1,l2无交点，所以l1,l2的位置，平行或异面．故选C
5.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为A=45∘,B=60∘,a=22，所以由正弦定理asinA=bsinB，可得 b=a⋅sinBsinA=22×3222=23.故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
向左平移12个单位长度，故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】根据题意得a→+b→+c→=d→，所以a→+c→+b→−d→=0，d→2=a→+c→+b→2=a→2+b→2+c→2+2a→b→+2a→c→+2b→c→,
由于各向量间的夹角未知，故ABD不一定成立．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
扇形统计图
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为9000×4%=360，根据图甲以及抽取百分比可知，样本中初中生人数为4000×4%=160，根据图乙可知，抽取的初中生近视人数为160×30%=48．故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
fx=m，根据题意画出fx图象．故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
函数奇偶性的判断
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题与特称命题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】令a=0，函数fx的定义域为R，所以f−x=|−x2+b|=|x2+b|=fx，A正确．
命题“∃x∈R,x2+x+1>0“的否定是∀x∈R,x2+x+1≤0，B错误；
两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，C错误；
fx=−1x的单调递增区间为−∞,0和0,+∞，D错误．
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
根据函数的奇偶性可知，函数是奇函数．故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】平移A1C1至AC，连接AN，不妨设正方体边长为2，则在△ACN中，
利用余弦定理可得csα=5+8−52×5×22=25．
故选B．
13.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a4−ab+b4=a2+b22−2a2b2−ab=4−2a2b2−ab，令ab=t，原式=−2t2−t+4又因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1，故ft=−2t2−t+4在t≤1上的最大值为338.
故选B．
14.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h，R，
则S=2πR2+2πRh，
则πRh=S2−πR2，
∴ 酒杯的容积V=23πR3+πR2h=23πR3+(S2−πR2)R
=−π3R3+S2R≤43πR3，
又h>0，∴ S2−πR2>0，
∴ πR2解得3S10π≤R所以4π3S10π≤4πR2<4πS2π，即65S≤4πR2<2S．
故选C．
15.
【答案】
B
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】设z=a+bia,b∈R，因为zz+2=1+2i，所以zz=+2z=1+2i，所以a2+b2+2a−2bi=1+2i，
所以a2+b2+2a=1−2b=2，所以a=0b=−1或a=−2b=−1，因为复数z不是纯虚数，所以z=−2−i，
所以z的实部为−2，虚部为−1，模为5，
而复数之间是不能比大小，复数的模才可以比较大小．
故选B．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
三角函数的化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为 sinα+csα=22sin2α+cs2α=1可得sinα=2−64csα=2+64或 sinα=2+64csα=2−64 ，
因为α∈R．所以tanα=−2+3或−2−3．
故1tanα=−2+3或−2−3.
故选BD．
【答案】
A,B
【考点】
分段函数的应用
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由条件得，要使得函数fx在x∈0,4上的图象位于直线y=x−1下方（可部分重合）作图象如下，
当x<λ时为二次函数，x>λ时为一次函数，由图象知，x<1时，抛物线在直线y=x−1的上方，而直线y=2x−5在直线y=x−1下方，
故λ<0．
故选AB．
【答案】
A,B,D
【考点】
函数的图象与图象变化
象限角、轴线角
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由面积公式可知12⋅12⋅sinx<12⋅x⋅12×12⋅1⋅tanx，即sinx三、填空题
【答案】
23
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】P=2030.
【答案】
2
【考点】
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】|a→|+|b→|≥2|a→||b→|≥2|a→⋅b→|=2，当|a→|=|b→|=1 且夹角为零时取等号．考察向量数量积与不等式的运用，命题意图以向量为背景来体现基本不等式的运用．
【答案】
15
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由题意可知θ1=85,θ0=5，当t=10时，θ=45，于是45=5+85−5e−10k，整理得e−10k=12，
θ=5+45−5e−20k=5+40×14=15.
【答案】
35【考点】
根的存在性及根的个数判断
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】即方程2−cs2x4sinx+1=m,x∈0,π有两个不同解，化为2sin2x−4msinx−m+1=0，令t=sinx，则方程2t2−4mt−m+1=0在[0,1）有唯一解．设ft=2t2−4mt−m+1，当f0=0时,m=1，此时方程有唯一解，当f0≠0时，必须f0f1<0或Δ=00综上，35四、解答题
【答案】
解：(1)fx=3sinxcsx+sin2x+cs2x=32sin2x+12cs2x+12=sin2x+π2+12．
因为x∈0,π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，则由π6≤2x+π6≤π2得0≤x≤π6，
所以单调递增区间为0,π6.
(2)设t=2x+π6,ht=sint,t∈π6,7π6，函数fx−a=0有且仅有一个根等价于直线y=a−12与y=ht有且只有一个交点，则需满足a−12=1 或−12≤a−12<12，解得a=32或0≤a<1，所以a的取值范围是{a|a=32或0≤a<1}.
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=3sinxcsx+sin2x+cs2x=32sin2x+12cs2x+12=sin2x+π2+12．
因为x∈0,π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，则由π6≤2x+π6≤π2得0≤x≤π6，
所以单调递增区间为0,π6.
(2)设t=2x+π6,ht=sint,t∈π6,7π6，函数fx−a=0有且仅有一个根等价于直线y=a−12与y=ht有且只有一个交点，则需满足a−12=1 或−12≤a−12<12，解得a=32或0≤a<1，所以a的取值范围是{a|a=32或0≤a<1}.
【答案】
解：（1）甲运动员平均值x甲=80+110+120+100+905=100（分），
甲运动员的方差s甲2=80−1002+110−1002+120−1002+100−1002+90−10025=200.
(2)由题意知乙运动员的平均值x乙=100+120+x+y+1105=110（分），得x+y=220，故y=220−x，所以乙运动员的方差s乙2=100−1102+120−1102+x−1102+220−x−1102+110−11025，
因为乙运动员比甲运动员的发挥稳定性好，所以 s乙2解得90【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）甲运动员平均值x甲=80+110+120+100+905=100（分），
甲运动员的方差s甲2=80−1002+110−1002+120−1002+100−1002+90−10025=200.
(2)由题意知乙运动员的平均值x乙=100+120+x+y+1105=110（分），得x+y=220，故y=220−x，所以乙运动员的方差s乙2=100−1102+120−1102+x−1102+220−x−1102+110−11025，
因为乙运动员比甲运动员的发挥稳定性好，所以 s乙2解得90【答案】
解：（1）因为fx=x+a+1x−1 ，所以当a<−2时，解集为x|1≤x≤−a−1；当a=−2时，解集为x|x=1；当a>−2时，解集为x|−a−1≤x≤1.
(2)代人化简得：hx=|x2+ax|，当a≤−2或a≥0时，hx在0,1上单调递增，则Ma=h1=|a+1|；
当−2由−2|a+1|，解得−2故当−2综上， Ma=a24,−2于是Ma的最小值为M(2(1−2))=3−22.
故Ma的最小值3−22.
【考点】
不等式恒成立问题
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为fx=x+a+1x−1 ，所以当a<−2时，解集为x|1≤x≤−a−1；当a=−2时，解集为x|x=1；当a>−2时，解集为x|−a−1≤x≤1.
(2)代人化简得：hx=|x2+ax|，当a≤−2或a≥0时，hx在0,1上单调递增，则Ma=h1=|a+1|；
当−2由−2|a+1|，解得−2故当−2综上， Ma=a24,−2于是Ma的最小值为M(2(1−2))=3−22.
故Ma的最小值3−22.