2021-2022学年浙江省杭州市临平区杭州二中树兰高级中学高一下学期数学周末练习卷（一）（含答案解析）

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2021-2022学年浙江省杭州市临平区杭州二中树兰高级中学高一下学期数学周末练习卷（一）1. 若不等式|x−1|65 C. a<65 D. a≤654. 将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(|φ|≤π2)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(π3−x)=−g(π3+x)，则φ的值可以为( )A. −π6 B. −π12 C. π6 D. π35. 若存在x∈(−∞,0]满足x2−2x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是.( )A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (−∞,−1) D. (−1,+∞)6. 将函数f(x)=cos ωx2(2sin ωx2−23cosωx2)+3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,π4上为增函数，则ω的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 在边长为1的正三角形ABC中，AB−BC的值为.( )A. 1 B. 2 C. 32 D. 38. 复数(1+2i)23−4i= ( )A. −1 B. 1 C. −i D. i9. 下列函数中，fx与gx表示同一函数的是( )A. fx=x−1，gx=x2−2x+1B. fx=x，gx=x2xC. fx=x，g(x)=3x3D. fx=x2−4x−2，gx=x+210. 某学生在复习整理做过的题目中，发现有错题，请你帮忙找出，错误的有( )A. y=x2+2+1x2+2有最小值2B. ab<0时，y=ba+ab有最小值2C. 若集合A=x|mx2+4x+1=0仅有一个元素，则m=4D. 设a，b为非零实数，且a1，b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件.C. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件.D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件.12. 关于函数f(x)=3sin (2x−π3)+1(x∈R)的下述四个结论，正确的有( )A. 若fx1=fx2=1，则x1−x2=kπ2k∈ZB. y=fx的图象关于点2π3,1对称C. 函数y=fx在0,π2上单调递增D. y=fx)的图象向右平移π12个单位长度后所得的图象关于 y轴对称13. 已知函数f(x)=ax+2(a<0)，若∃x0∈[−2,2]，使f(x0)<0成立，则实数a的取值范围是__________.14. 已知关于x的一元二次不等式mx2+mx+m−1>0的解集为R，则实数m的取值范围是__________.15. 若函数fx=sinωx−3cosωxω>0的图象的一条对称轴为x=π3，则ω的最小值为__________16. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若AC=mAB+nAD(m,n∈R)，则m−n=__________17. 已知集合A=x|−60,ω>0,0≤φ<π的图象如图所示：(1)求函数fx的解析式；(2)首先将函数fx的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数gx在[0,π2]内的值域.20. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x.(1)求f(x)的解析式；(2)求x∈[−2,2]时f(x)的最值；(3)求不等式f(m)>3的解集．21. 设O为△ABC内任一点，且满足OA+2OB+3OC=0.(1)若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；(2)求△ABC与△AOC的面积之比．22. 已知函数fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,φ<π2的某一周期内的对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数fx的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y=fnxn>0的最小正周期为2π3，当x∈0,π3时，方程fnx=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查充分条件的判断，考查集合中参数的取值问题，属于基础题．由已知不等式|x−1|0时，A=x|1−a1b，故A错误，所以a+1(12)b，故C错误，因为00成立，令t=xy，t>0，则a≥t2+4t+1t2+3t+1=1+1t+1t+3，因为t>0时t+1t≥2，t=1时取等号，所以1+1t+1t+3≤65，则a≥65.故选A. 4.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象变换以及图象性质的应用，属于基础题.由平移变换求得变换后的图象解析式，根据函数的对称性由正弦函数的性质求φ值.【解答】解：函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+2φ)的图象，又g(π3−x)=−g(π3+x)，可知g(x)的图象关于点(π3,0)对称，所以2×π3+2φ=kπ，k∈Z，即φ=−π3+kπ2，k∈Z，因为|φ|<π2，所以 φ=π6，或φ=−π3故选C. 5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查存在性问题，属于基础题.令f(x)=x2−2x(x≤0)，求出f(x)的最小值，即可求得a的范围.【解答】解：令f(x)=x2−2x(x≤0)，显然f(x)为减函数，则f(x)min=f(0)=−1，因为存在x∈(−∞,0]满足x2−2x+a<0(a∈R)则−a>f(x)min，即−a>−1，故a<1.故选A. 6.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题.根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：将函数f(x)=cosωx2(2sinωx2−23cosωx2)+3=sinωx−3cosωx=2sin(ωx−π3)，(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=g(x)=2sinωx的图象，若y=g(x)在[0,π4]上为增函数，则14⋅2πω≥π4，∴ω≤2，∴ω的最大值为2，故选B. 7.【答案】D 【解析】【分析】本题考查向量的减法和向量的模，属于基础题.作菱形ABCD，则AB−BC=AB−AD=DB，即可求解.【解答】解：如图，作菱形ABCD，则AB−BC=AB−AD=DB，由余弦定理得DB=1+1−2×1×1×cos120∘=3，所以AB−BC=3，故选D. 8.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.根据复数的运算法则进行运算即可.【解答】解： (1+2i)23−4i=12+4i+4i23−4i=−3+4i3−4i=−(3−4i)3−4i=−1.故选A. 9.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查同一函数的判断，属于基础题．利用同一函数的判断条件，即需要定义域相同，对应法则相同才是同一函数，逐个判断即可．【解答】解：A.g(x)=x2−2x+1=x−1，f(x)、g(x)的定义域都为R，所以是同一函数；B.f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以不是同一函数；C.f(x)、g(x)的定义域都为R，且g(x)=x=f(x)，所以是同一函数；D.f(x)的定义域为(−∞,2)∪(2,+∞)，g(x)的定义域为R，所以不是同一函数．故选AC. 10.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查基本不等式，考查不等式的性质，考查集合元素个数问题，属于中档题.A选项，由基本不等式判断，B选项，由ab<0得ba<0,ab<0，进而判断，C选项，分m=0和m≠0讨论判断，D选项，由作差比较判断.【解答】解：A选项，由y=x2+2+1x2+2≥2x2+2⋅1x2+2=2，当且仅当x2+2=1时取等号，显然取不到，故A错误；B选项，由ab<0得ba<0,ab<0，则y=ba+ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2(−ba)⋅(−ab)=−2，当且仅当a=−b时取等号，故y有最小值2不成立，故B错误；C选项，若集合A=x|mx2+4x+1=0仅有一个元素，当m=0时，易得集合A仅有一个元素，当m≠0时，由Δ=0⇒42−4m=0，解得m=4，故m=0或m=4，故C错误，D选项，a，b为非零实数，且a1,b>1时一定有ab>1，充分性成立，ab>1，推不出a>1,b>1，必要性不成立，因此“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件，所以B正确；“x>y”推不出“|x|>|y|”，所以C错误；方程x2 −2x+m=0有一正一负根(设为x1，x2)等价于Δ>0x1x2=m<0，即m<0，则“m<0”是“关于x的方程x2 −2x+m=0有一正一负根”的充要条件，所以D正确．故选ABD. 12.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．A，根据对称中心性质可得(x1,1)，(x2,1)是f(x)=3sin(2x−π3)+1的图像上的两个对称中心，则x1−x2=kT2(k∈Z)，故可判断A的正误；B，可根据对称中心对应的函数值特征进行分析；C，根据三角函数单调性判断即可；D，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可．【解答】解：由f(x1)=f(x2)=1可得(x1,1)，(x2,1)是f(x)=3sin(2x−π3)+1的图象上的两个对称中心，则x1−x2=kT2(k∈Z)，又因为T=2π2=π，∴x1−x2=kπ2(k∈Z)，故A正确；f(2π3)=3sinπ+1=1，所以(2π3,1)是f(x)的一个对称中心，故B正确；由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，当k=0时，函数y=fx在[−π12,5π12]上单调递增，则fx在0,5π12上单调递增，在5π12,π2上单调递减，故C错误；y=f(x)的图象向右平移π12个单位长度后所得函数为y=3sin[2(x−π12)−π3]+1=−3cos2x+1，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故D正确.故选ABD. 13.【答案】(−∞,−1) 【解析】【分析】本题主要考查了存在量词命题，函数的最值，属于基础题.若∃x0∈[−2,2]，使f(x0)<0成立，只需f(x)min<0即可，利用一次函数的单调性求出f(x)的最小值，即可求出a的取值范围.【解答】解：因为f(x)=ax+2(a<0)在[−2,2]单调递减，所以当x=2时，f(x)取最小值2a+2，若∃x0∈[−2,2]，使f(x0)<0成立，只需 f(x)min<0即可，即2a+2<0，得a<−1，满足a<0.所以实数a的取值范围(−∞,−1).故答案为(−∞,−1). 14.【答案】(43,+∞) 【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属于基础题.转化为不等式恒成立问题，得出m>0Δ=m2−4m(m−1)<0，求解即可.【解答】解：因为关于x的一元二次不等式mx2+mx+m−1>0的解集为R，则一元二次不等式mx2+mx+m−1>0对于x∈恒成立，所以m>0Δ=m2−4m(m−1)<0，解得m>43，所以实数m的取值范围是(43,+∞).故答案为 (43,+∞). 15.【答案】52 【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，辅助角公式的应用，属于中档题.根据辅助角公式化简函数，由条件得π3ω−π3=π2+kπ,k∈Z，结合ω>0即可求出ω的最小值．【解答】解：f(x)=sin ωx−3cos ωx=2sin (ωx−π3)，因为x=π3是函数图像的一条对称轴，则有π3ω−π3=π2+kπ,k∈Z，解得ω=52+3k，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为52.故答案为52. 16.【答案】−2 【解析】【分析】本题考查向量加减和数乘的混合运算，平面向量基本定理，属于基础题.根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由BD=2DC得到AC=−12AB+32AD，这便可得到m=−12,n=32，从而可以求得结果．【解答】解：∵BD=2DC；∴BD=2DC；∴AD−AB=2(AC−AD)，∴AC=−12AB+32AD，又AC=mAB+nAD，∴m=−12,n=32，∴m−n=(−12)−32=−2.故答案为−2. 17.【答案】(1)解：∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=⌀时，即3m−1≥2m+1时，解得m≥2，此时满足题意，当B≠⌀时，即3m−1<2m+1时，解得m<2，则3m−1≥−62m+1≤10，解得−53≤m≤92，即−53≤m<2；综上所述m的取值范围为−53,+∞；(2)解：因为A=x|−61010>3m−1>−6，此时满足条件的m不存在；③A∩B=x−60时，f(x)=x2−2x，所以当x<0时，−x>0，则fx=−f−x=−x2+2x=−x2−2x，f0=0，故fx=x2−2x,x≥0−x2−2x,x<0.(2)当x∈0,2时，f(x)=x2−2x=x−12−1，fxmin=f1=−1，fxmax=f0=f2=0，故fx∈−1,0；当x∈−2,0时，f(x)=−x2−2x=−x+12+1，fxmin=f−2=0，fxmax=f−1=1，故fx∈0,1.综上所述：函数的最大值为1，最小值为−1.(3)当m≥0时，f(m)=m2−2m>3，解得m>3或m<−1，故m>3；当m<0时，f(m)=−m2−2m>3，无解.综上所述：m>3，即mm>3. 【解析】本题考查函数的解析式、函数的最值和函数的奇偶性，属于中档题；(1)当x<0时，−x>0，代入函数根据函数的奇偶性结合f0=0得到函数解析式.(2)分别计算x∈0,2和x∈−2,0的最值，比较得到答案.(3)考虑m≥0和m<0两种情况，代入函数解不等式得到答案.21.【答案】解：(1)证明：如图：因为D，E分别是边BC，CA的中点，所以OB+OC=2OD，OA+OC=2OE，因为OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC)=2(OE+2OD)=0，即2OD+OE=0，所以OD与OE共线．又OD与OE有公共点O，所以D，E，O三点共线；(2)由(1)知2|OD|=|OE|，所以S△AOC=2S△COE=2×23S△CDE=2×23×14S△ABC=13S△ABC，所以S△ABCS△AOC=3. 【解析】本题考查了平面向量共线的应用，属于中档题.(1)OB+OC=2OD，OA+OC=2OE，得到OA+2OB+3OC=2(OE+2OD)=0，即可证明；(2)由(1)知2|OD|=|OE|，则S△AOC=2S△COE=2×23S△CDE=13S△ABC，即可求解.22.【答案】解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T=11π6−(−π6)=2π，由T=2πω，得ω=1，又B+A=3B−A=−1，解得A=2B=1，令ω⋅5π6+φ=π2+kπ,k∈Z，即φ=−π3+kπ,k∈Z，∵φ<π2，解得φ=−π3，∴f(x)=2sin(x−π3)+1.(2)∵函数y=f(nx)=2sin(nx−π3)+1的周期为2π3，又n>0，∴n=3，令t=3x−π3，∵x∈[0,π3]，∴t∈[−π3,2π3]，由2sint+1=m，得sint=m−12，故y=sint的图象如图：若sint=m−12在[−π3,2π3]上有两个不同的解，则m−12∈[32,1),即32≤m−12<1，解得3+1≤m<3，∴方程fnx=m在x∈0,π3恰有两个不同的解时，m∈[3+1,3),即实数m的取值范围是[3+1,3). 【解析】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查作图能力，属于中档题．(1)根据表格提供的数据，求出周期T，解出ω，利用最小值、最大值求出A、B，结合对称轴求出φ，可求函数f(x)的解析式．(2)函数y=f(nx)(n>0)周期为2π3，求出n，x∈[0,π3]，推出3x−π3的范围，画出图象，数形结合容易求出m的范围．x−π6π35π64π311π6fx−1131−1