2021-2022学年安徽省宣城市泾县中学高一下学期第一次月考数学试题（含答案解析）

2021-2022学年安徽省宣城市泾县中学高一下学期第一次月考数学试题

1.  已知，若，则B点的坐标为.(    )

A.  B.  C.  D.

2.  简谐运动可用函数，表示，则这个简谐运动的初相为.(    )

A.  B.  C.  D. 8x

3.  “”是“”的.(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  函数图象大致是.(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一种药在病人血液中的量低于80 mg时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药10000 mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为.(    )

A. 小时 B. 2小时 C. 小时 D. 3小时

7.  已知四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 1

8.  (    )

A.  B. 2 C.  D. 1

9.  以下关于平面向量的说法中，正确的是.(    )

A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等
C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量

10.  已知函数的图象经过点则(    )

A. 的图象经过点 B. 的图象关于y轴对称
C. 在上单调递减 D. 在内的值域为

11.  已知向量，下列结论正确的是.(    )

A. 与能作为一组基底
B. 与同向的单位向量的坐标为
C. 与的夹角的正弦值为
D. 若满足，则

12.  已知函数，则下列说法正确的是.(    )

A. 函数不是周期函数
B. 函数的值域为
C. 函数的图象不关于任何点对称
D. 函数图象的对称轴方程为，

13.  已知集合，则__________.

14.  在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为__________.

15.  设向量，其中O为坐标原点，，若A，B，C三点共线，则__________，的最小值为__________.

16.  若函数其中在区间上不单调，则的取值范围为__________.

17.  化简求值：

已知，求的值；

18.  已知向量

若，且，求；

若与互相垂直，求实数t的值．

19.  已知函数

求函数的单调区间；

求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程．

20.  已知，，求的值；

求与的夹角.

21.  已知偶函数

求实数m的值；

经过研究可知，函数在区间上单调递减，求满足条件的实数a的取值范围．

22.  已知函数

当时，解关于x的不等式；

请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；

设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的坐标表示，属于基础题.
根据向量的坐标表示求解即可.

【解答】

解：设，点A的坐标为，所以，
因为，所以，所以，，
点B的坐标为
故答案为：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了复合三角函数的初相的求法，考查了对定义的运用能力，属于基础题．
当函数表示一个简谐振动时，则时的相位叫做初相，由定义即可求解．

【解答】

解：简谐运动可用函数，表示，
当时，，则这个简谐运动的初相为
故选：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件与充分条件的判断，属于基础题.
由“”可推出“”、“”推不出“”即得.

【解答】

解：由可推出，则“”是“”的充分条件；
若，则，，则“”是“”的不必要条件.
故“”是“”的充分不必要条件.
故本题选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图像，属于容易题.
利用函数的奇偶性和时的取值范围、求出结果.

【解答】

解：因为，所以为奇函数，所以B错误.
又时，所以D错误.又因为，故C错误.
故本题选：

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理和向量的加法和减法运算及其运算律等知识，属于简单题．
由向量加法的三角形法则得到，进而可得答案．

【解答】

解：由题可得，又因为E为线段AB的中点，所以 ，则，
所以
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数模型，考查了分析和解决问题的能力，属于基础题.
先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，求解即可.

【解答】

解：设时间为x，则有，解得，所以不能超过的最长时间为3小时.
故选

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算以及共线应用，属于基础题.
先得到，再由B，O，D共线，即可得到答案.

【解答】

解：由已知得，，

故，又B，O，D共线，

故，所以

故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式，属于基础题.

利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.

【解答】

解：原式

故选：

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本概念，属于基础题.
根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答.

【解答】

解：由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；

单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；

零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；

由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.

故选：

10.【答案】CD 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数的性质，属于基础题.
依题意，求出指数函数的解析式，由性质即可解题.
【解答】
解：函数的图象经过点，
，，
，显然AB错误；
CD正确.  

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了向量坐标运算，属于中档题.

对于A，两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B，与向量同向的单位向量为；对于C，可以用夹角公式先求夹角的余弦，再用平方关系求正弦；对于D，代模长公式计算即可.

【解答】

解：对于A，因为，所以不存在实数使得，

所以与能作为一组基底，故A正确；

对于B，因为，所以，

所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；

对于C，因为⟨⟩，

所以与的夹角的正弦值为⟨⟩，故C正确；

对于D，因为，

所以，解得，故D正确．

故选：

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
作出函数的图象，结合图象对选项进行逐一判断．

【解答】

解：在坐标系中，作出函数的图象如图所示：

因为，故函数有一个周期为，故A错误；
由函数图象可知，函数的值域为，故B正确；
由函数图象可知，函数的图象不是中心对称图形，故C正确；
由函数图象可知，函数的对称轴方程为，，故D正确，
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了交集的定义与应用问题，属于基础题.
根据交集的定义写出

【解答】

解：集合，又
则
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握弧长公式是解题关键，属于基础题．
根据题意可以利用弧长公式直接计算．

【解答】

解：令扇形圆心角的弧度数为，半径为r，弧长为
根据题意得出：，弧长
故答案为：

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量共线的坐标运算及基本不等式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
由A，B，C三点共线，得与共线，从而有，再运用基本不等式可求解.

【解答】

解：由题设知向量，则，，因为A， B，C三点共线，
所以与共线，故，可得，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为
故答案为：；

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质以及二倍角公式及其应用，属于中档题.
由化简，通过，分类讨论，即可得到答案.

【解答】

解：因为函数其中，
①当时，若函数在区间上单调，
则，解得，
函数在区间上不单调，则
②当时，若函数在区间上单调，
则，解得，
函数在区间上不单调，则，
所以的取值范围为：
故答案为：

17.【答案】解：先对解析式进行化简，即，
因为，所以，所以原式


 

【解析】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，三角函数的化简求值，考查运算求解能力，属于基础题．
利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求出，从而计算得结论；
利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可．
 

18.【答案】解：因为向量，则，

因为，设，则

解得：或

故，或；

由题可得，，

因为与互相垂直，所以，整理得：，解得：或

【解析】本题考查向量的模，考查向量平行、垂直的判定，考查向量的坐标表示，向量的数量积，属于中档题.
设出，根据模长与平行关系得到方程组，求出；
先求出，根据垂直关系得到方程，求出实数t的值.
 

19.【答案】解：由题可得，，
令，解得，
故函数的单调递增区间为
令，解得，
故函数的单调递减区间为
令，解得，
可得函数图象的对称中心的坐标为，
令，解得，
可得函数图象的对称轴方程为 

【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦弦函数的单调性和图象的对称性，属于中档题．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦弦函数的单调性，得出结论．
由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程．
 

20.【答案】解：由，得，

因为，，所以，所以，

所以

设与的夹角为，因为，

故，

所以，

因为，所以

【解析】本题考查了向量的运算以及求向量的模的方法；根据向量的平方等于向量模的平方，要求向量的模，一般的先求其平方，再开方求模．属于中等题.
要求向量的模，根据向量的平方等于模的平方，先求平方再开方求值．
将已知等式展开，利用向量的数量积公式以及模的平方等于向量的平方求夹角.
 

21.【答案】解：偶函数，定义域为，在定义域中恒成立，即恒成立，即，解得，当时，，由，可知此时函数为偶函数，符合题意，由上知实数m的值为
由偶函数在区间上单调递减，可得函数在区间上单调递增，则，
所以，解得或，
实数a的取值范围为： 

【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，不等式求解，属于中等题.
由偶函数的定义列恒等式，解得即可；
由偶函数在区间上单调递减，则，即，解得即可.
 

22.【答案】解：当时，不等式可化为，即，
有，解得
故不等式的解集为
令，有，即，
有
若函数有两个零点，记为，，必有，，
且有无解，
故函数不可能有两个零点.
当，，时，，函数单调递减，
有，，
有，
有，整理为，
由对任意的恒成立，必有解得，
又由，可得，
由上知实数a的取值范围为 

【解析】本题以对数函数为载体，考查解不等式、零点问题和最值问题，属于较难题.
由题意得，利用对数函数的性质求解即可;
令得假设函数有两个零点，得矛盾，可判断函数不可能有两个零点；
由题意，分离a得，由对任意的恒成立，必有，解得，结合即可求解.