2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学远志班高一（下）第一次质检数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学远志班高一（下）第一次质检数学试卷

1.  直线l的方程为：，则直线l的倾斜角是(    )

A.  B.  C.  D. 0

2.  设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为(    )

A.  B.  C. 1 D. 7

3.  如果直线：与直线：平行，则(    )

A. 0 B.  C. 0或1 D. 0或

4.  已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则的值为(    )

A.
B.
C. 1
D.

5.  已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知在直角坐标系xOy中，点，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  对于空间向量，，给出下列命题，其中为真命题的是(    )

A. 若，则为零向量
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 若，，则
D. 若，，，则，，可以作为空间中的一组基底

10.  在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：：：2，则下列说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列说法错误的是(    )

A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

12.  如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱、的中点，G为面对角线上一个动点，则(    )

A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点G，使平面平面
C. 当时，直线EG与所成角的余弦值为
D. 三棱锥的外接球半径的最大值为
 

13.  在x轴上找一点M，使这点到点和点的距离相等，则M的坐标为______.

14.  已知与的夹角为，则使与的夹角为钝角的实数的取值范围是______.

15.  在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB异于A、B的一点．光线从点P出发，经过BC、CA反射后又回到点如图若光线QR经过的重心，且，则______.

16.  如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则AC与所成角的余弦值______.

17.  已知三角形的三个顶点是，，
求BC边上的高所在直线的方程．
求BC边上中线所在直线的方程．

18.  如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，
用，，表示向量；
若，且满足______从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
①，，，；
②，，，，；
③，，，，，则可求出的值；并求出的大小．

19.  如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，求证：平面平面

20.  已知空间三点，，
若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
若，且，求点P的坐标．

21.  已知直线l：
求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；
若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点．设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

22.  已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的的二面角，点M在线段AB上．
若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC；
是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

由题意可得直线l与x轴垂直，从而得到l的倾斜角．
本题考查了直线的倾斜角问题，是基础题．

【解答】

解：直线l的方程为，
直线l与x轴垂直，
直线l的倾斜角是，
故选：

2.【答案】C 

【解析】解：设平面的法向量为，平面的法向量为，
若，则，
，
解得
故选：
若，则，利用向量平行的性质能求出
本题考查实数值的求法，考查线线平行、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况，要进行检验．
先检验当时，是否满足两直线平行，当时， ，解得a的值即可．

【解答】

解：当时，它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．
当时，由，解得：
综上，或
故选

4.【答案】B 

【解析】解：由题可知，，
所以，
所以，所以，
故选：
由空间向量的线性运算直接计算即可．
本题考查了空间向量及其线性运算，属于中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：设向量在基底，下的坐标为，
则，
整理得：，
，解得，，，
向量在基底下的坐标是
故选：
设向量在基底，下的坐标为，则，由此能求出向量在基底下的坐标．
本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．
 

6.【答案】D 

【解析】解：依题意，


，
故选：
把两边平方，即可求得的模，即可求出
本题考查了空间向量的线性运算、模的运算，属于中档题．
 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

设出P的坐标，根据数量积得到，进一步转化求解即可．
本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：设直线l：上点P的坐标为：，
则，，
，
故需：，解得：，
故选：

8.【答案】D 

【解析】解：设该正方体外接球的半径为R，依题意有，解得，故，
，故，分别取棱AB，BC的中点F，G，连接GF，，，，
根据正方体的性质可知，四边形为等腰梯形，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，，
，，
所以，，由于，
所以平面，即截面为等腰梯形，
由题可知，，，
所以等腰梯形的高为，
故截面图形的面积为
故选：
先求得正方体的边长，画出截面，利用向量法证得平面，根据梯形面积公式计算出截面的面积．
本题考查空间中点线面的位置关系，属基础题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】解：对于A选项，根据零向量的概念可知，A选项正确；
对于B选项，由可得，的夹角为锐角或零角，故B项错误；
对于C选项，因为，，所以，故，故C项正确；
对于D选项，因为，，，，，三个向量不共面，故D项正确．
故选：
根据空间向量的知识，依次分析即可得答案．
本题考查了向量的数量积及零向量的概念，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，，，
，
，，故A正确；
，，故B正确；
不存在非0实数，使，错误，即C错误；
，，故D正确．
故选：
以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出所用向量的坐标，由数量积是否为0及共线向量定理判断．
本题考查空间向量的应用，利用空间向量证明平行与垂直，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以故选项A说法正确；
对于B：当时，与直线斜率乘积等于，
两直线互相垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，可得或，
所以得不出，故必要性不成立，
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
故选项B说法不正确；
对于C：当或时，直线的方程为或，
此时直线的方程不成立，故选项C说法不正确；
对于D：当过且横纵截距都为0时，所求直线方程为，
当过且横纵截距相等不为0时，
设所求直线方程为，即，可得，
所以直线的方程为，故选项D说法不正确；
故选：
根据斜率为，求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；当或时可判断C；当横纵截距都为0时，所求直线方程为可判断
本题考查了直线的倾斜角和两直线垂直的性质，考查充分必要条件以及转化思想，是中档题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：对于A，，所以A正确；
对于B，若存在线段，使平面平面线段，因为平面交平面EFG与平面分别为NG与DM，
于是，G应在的延长线上，所以B错；
对于C，因为，所以为直线EG与所成角，于是当在时，即时，最小，所以C错；
对于D，当G在C点时，三棱锥外接球半径的最大，
过N作，交于H，取外心P，作平面GEF，交NH于O，则O为三棱锥外接球球心，
如平面展开图，设半径，因为，，所以，
所以，，
由，可得，解得，所以D正确，
故选：
A求三棱锥体积判断；B用反证法判断；C用平移直线法求异面直线成角，用运动思想判断；D求外接球心，用方程求解判断．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了异面直线成角问题，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
由题意可知，，，，
故，解得，，
故M的坐标为
故答案为：
根据题意设出点M坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．
本题主要考查了两点间距离公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，与的夹角为，则，
若与的夹角为钝角，则且与不共线，
则有，解得，
即的取值范围为
故答案为：
根据题意，由向量数量积的运算性质可得且与不共线，变形可得，再求出实数的取值范围．
本题考查向量数量积的性质及其运算，考查了转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则，，
设的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为，则P点关于y轴对称点为，
因为直线BC方程为，
所以P点关于BC的对称点为，
根据光线反射原理，，均在QR所在直线上，，
即，
解得，或当时，P点与A点重合，故舍去．
即
故答案为：
建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由，Q，R，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，
因为，
所以

，
，
所以，
，
所以，
以为一组基底，设AC与所成的角为，
所以，
则AC与所成角的余弦值
故答案为：
以为一组基底，设AC与所成的角为，由求解．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：、，的斜率是
边上的高的斜率为
边上的高所在直线的方程为，即；
中点坐标为，BC的斜率是
与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程为，即 

【解析】求出BC的斜率，可得BC边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC边上的高所在直线的方程；
求出AB中点坐标，利用点斜式，可求与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程．
本题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：连接ON，

因为N是棱BC的中点，所以，
因为M是棱OA上靠近A的三等分点，所以；
选①，
因为，所以

，所以；
选②，
因为，所以

，所以；
选③，
因为，所以

，所以 

【解析】连接ON由可得答案；
选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；③对两边平代入已知再开方可得答案．
本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取CD，CE的中点F，G，连FG、BG，

为CD的中点，
，且，
平面ACD，平面ACD，
，则，
又，
，则四边形GFAB为平行四边形，
，
为等边三角形，F为CD的中点，
，
平面ACD，平面ACD，
，
又，故平面CDE，
，
平面CDE，
又平面BCE，
平面平面 

【解析】取CD，CE的中点F，G，连FG、BG，由三角形的中位线定理可得，且再由线面垂直的性质可得，则结合，得到则四边形GFAB为平行四边形，得在等边三角形ACD中，得到，结合平面ACD，可得由线面垂直的判定得故平面进一步得到平面CDE，由面面垂直的判定得平面平面平面
本题考查面面垂直的证明，属于中档题．
 

20.【答案】解：三点，，，
，，
设，
，且分别与、垂直，
，解得或，
或
因为，所以可设，
因为，所以，
又，所以，解得，
所以或，
设点P的坐标为，则，
所以或，解得或，
则点P的坐标为或 

【解析】设，由，且分别与、垂直，列出方程组求解即可．
设，求出的值，即得或，再求出点P的坐标．
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：直线l：，即，令，求得，，
可得直线l：经过定点，而为第一象限内的定点，
故无论k取何值，直线l始终经过第一象限．
直线l：直线l与x轴正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，
，且，求得
的面积为，
当且仅当时，取等号，
的最小值及此时直线l的方程，即 

【解析】在直线方程中先分离参数，令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得定点坐标．再根据定点在第一象限，可得直线l始终经过第一象限．
先求得A、B的坐标，可得的面积为S表达式，再利用基本不等式，求得S的最小值及此时的k值，进而得到此时直线l的方程．
本题主要考查直线经过定点问题，截距的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：延长FM交EA的延长线于O，
为AB中点，，
为OF中点，
又，
为OE中点，
连接DF交CE于N，
则，
又平面EMC，平面EMC，
平面EMC；
取AE中点H，
由题意可知，平面DEA，平面CFB，
，
与是全等的正三角形，
以H为原点建立空间坐标系如图，
设，
则，，，
，
，，，
设是平面EMC的法向量，
则，
，
取，得，
直线DE与平面EMC所成的角为，


得
得，
得，
解得或
故存在点M满足题意，或
或，
DE中点G坐标为，，
得到平面EFCD的一个法向量，
设二面角的平面角为，
当时，；
当时，
综上，存在点M，当时，二面角的余弦值为；
当时，二面角的余弦值为 

【解析】利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则，证得线面平行；
取AE 中点H，以H为原点建立空间坐标系，设，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角的两个面的法向量，利用公式求解即可．
此题考查了线面平行，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，难度适中．