2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1． （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的加法运算，属于基础题.

2．下列说法错误的是（    ）

A．若非零向量有，，则 B．零向量与任意向量平行

C．已知向量不共线，且，，则 D．平行四边形中，

【答案】D

【解析】根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.

【详解】选项A：因为都不是零向量，所以由，可知向量与向量具有相同或相反方向.又由，可得向量与向量具有相同或相反方向，所以向量与向量具有相同或相反方向，故，故本说法是正确的；

选项B：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；

选项C：由，，可知：与向量具有相同或相反方向，与向量具有相同或相反方向，但是向量不共线，所以，故本说法是正确的；

选项D：平行四边形中，应该有，故本说法是错误的.

故选：D

【点睛】本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.

3．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则

A．-6 B．12 C．6 D．-12

【答案】A

【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】由在边上且，为的中点，

，

，

.

故选：A.

【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.

4．若向量，满足，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.

【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.

故选：B

5．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，故选A．

6．已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的加法运算，表示出复数，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．

【详解】由复数加法运算可知

在复平面内表示的点坐标为，所以所在象限为第三象限

所以选C

【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题．

7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km.

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．

【详解】由已知，中，，，

由正弦定理，，

所以，

在中，，

由正弦定理，，

所以，

在中，由余弦定理，，解得：．

所以与的距离.

故选B

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

8．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，表示复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据欧拉公式将化简为，再利用复数模的计算公式计算即可.

【详解】根据欧拉公式有，

所以，.

故选：B

【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

9．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由题中条件，得到侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.

【详解】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.

在中，，，

∴，∴.

∵，，

∴点到直线的距离为.

∴.

∴.

故选C

【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.

10．下列说法中正确的个数是（    ）

①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；

②平行四边形可以确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④若，且，则在上.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理，对每项逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；

对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；

对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；

对于④，由公理可得，若，则，故④正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理的应用.

11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．

【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

圆柱的侧面展开图是一个正方形，

，

圆柱的侧面积为，

圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，

圆柱的表面积与侧面积的比为：，

故选：．

12．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（    ）

①面面②面面

③面面④面面

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据题意,底面为正方形且平面,则平面;即可判断

【详解】证明：对于①,因为底面为正方形

所以

由题意可知平面

所以,

而

所以平面

又因为平面

所以平面平面,所以①正确;

对于②,因为

故由①可得平面,

而平面

所以平面平面,所以②正确

③④错误,不垂直.

综上可知,正确的为①②

故选：B

【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定,属于基础题.

二、填空题

13．在平行四边形ABCD中，，，，则________.（用表示）

【答案】

【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由得，利用向量的三角形法则得＝－，又，＝－，最后将和两个向量都用和表示即可求得结果.

【详解】如图：

＝－

＝＋2＝＋

＝－＋(－)

＝－＋

＝.

故本题答案为.

【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.

14．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为______

【答案】

【分析】由与，求出的度数，根据，，以及的长，利用正弦定理即可求出的长．

【详解】解：在中，，，，

即，

则由正弦定理，

得：．

故答案为：.

【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

15．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______.

【答案】3：4

【解析】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，计算体积得到答案.

【详解】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，

，.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.

16．如图，为等边三角形所在平面外一点，且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为______.

【答案】45°

【分析】由，得等于异面直线与所成角，通过求的大小，即可得到本题答案.

【详解】如图，取的中点，连接，则

等于异面直线与所成角.

设，则.

取的中点，连接.

，为等边三角形，

，

平面，，

.

所以，异面直线与所成的角为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查异面直线所成角，把异面直线平移到一个面上，然后通过解三角形求角，是解决此类题目的常用方法.

三、解答题

17．如图所示，在中，，，与相交于点.设，.

（1）试用向量、表示；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；

（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，通过化简计算可得出，即可得出结论.

【详解】（1）不妨设.

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

则，即.①

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

所以，即.②

由①②可得，，所以；

（2）由于、、三点共线，所以存在实数使得，

即，于是.

又，，所以，

所以，则，可得，

两式相加得.

【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题．

18．如图，一艘船从港口O出发往南偏东75°方向航行了100km到达港口A，然后往北偏东60°方向航行了160km到达港口B．试用向量分解知识求从出发点O到港口B的直线距离（，结果精确到）．（提示：将，分解为垂直的两个向量．）

【答案】

【分析】建立直角坐标系，利用平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.

【详解】建立如图所示的坐标系：

显然，

于是有：，，

，，

所以，

因为，所以有：

19．如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.

【答案】

【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为，则，连接，交与点，则，从而可知，则，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积，根据的取值范围，即可求出当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.

【详解】解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6，

设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为，

如图，连接，交与点，由题意可知，，

则，，

可知，即，则，

，则，

三棱锥的底面积为：，

由题可知，全等，则面积相等，

三棱锥的侧面积为：

，

所以三棱锥的表面积为：，

，，即，

所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是.

20．如图，长方体中，；

(1)求异面直线和所成角的正切值；

(2)求三棱柱的体积和表面积.

【答案】(1)

(2)体积，表面积.

【分析】（1）因为，所以与所成的角即为与所成的角，从而得到结果；

（2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果.

【详解】（1）在长方体中，因为，

所以与所成的角即为与所成的角，即（或补角），

，

所以异面直线和所成角的正切值为；

（2）易知三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形，

所以．

又为三棱柱的高，

所以，

又四边形为矩形，，

所以，

故所求表面积

.

21．如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.

（1）当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由

（2）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.

【答案】（1）见解析；（2）当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3

【分析】（1）先找到点，再证明此时平面.

（2），，体积的表达式为得到答案.

【详解】（1）存在点，使得平面，此时.

当时，，

过点作，交于点，连接，如图，则.

∵在四边形中，

∴，∴.

∵，

∴，且，故四边形为平行四边形，

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）∵平面平面，平面平面，平面.

∵，∴，

故三棱锥的体积，

当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3

【点睛】本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.

22．如图，正方体中，，分别为，的中点．

（1）求证：，，，四点共面；

（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）证明EF∥BD即可得出结论；

（2）只需说明三点都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共点即可得出结论．

【详解】证明：（1）连接，

在正方体中，∵，分别为，的中点，

∴是的中位线，∴，

又因为，∴

∴四边形为梯形，即，，，四点共面．

（2）在正方体中，，，

∴是平面与平面的交线，

又因为交平面于点，

∴是平面与平面的一个公共点．

因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，

∴三点共线．