2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学普高班高一（下）第一次质检数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学普高班高一（下）第一次质检数学试卷

1.  复数的虚部为(    )

A. 1 B.  C.  D.

2.  下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量

3.  若，则(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

4.  复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知平面向量，满足，且，，则(    )

A.  B. 3 C. 1 D.

6.  已知在中，，，，若三角形有两解，则x的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若为直角三角形，则的面积为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  人们通常把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  内角ABC对边分别是a，b，已知，，，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知M为的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知的顶点坐标为、、，点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且，R为线段OQ上的一个动点，则(    )

A. 点P的纵坐标为
B. 向量在向量上的投影向量为
C.
D. 的最大值为1

12.  在中，，，，P为内一点，，下列结论正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 的面积的最大值为 D. 的面积的取值范围是

13.  i是虚数单位，已知复数z满足等式，则z的模__________.

14.  已知点M是的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量______用表示

15.  已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影数量为__________.

16.  如图：在中，，点D在线段AC上，且，，求的面积最大值______

17.  已知中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设，
用向量与表示向量；
若，判断C、D、E是否共线，并说明理由．

18.  北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，且，，
求氢能源环保电动步道AC的长；
若_____；求花卉种植区域总面积．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

19.  已知向量，，在下列条件下分别求k的值：
与平行；
与的夹角为

20.  设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，
当P是线段的中点时，求点P的坐标；
当P时线段的一个三等分点时，求点P的坐标．

21.  已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
求A；
若，的面积为；求b，

22.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且
求角A的大小；
若的周长为，求的面积；
若，求的值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，
复数的虚部为
故选：
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：对于A，两个向量模相等，向量不一定平行，故A错误，
对于B，零向量的长度是0，故B正确，
对于C，长度相等，方向相同的向量叫相等向量，故C错误，
对于D，共线向量不一定是在同一条直线上的向量，向量可以平移，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合共线向量，零向量，相等向量，平行向量的定义，即可求解．
本题主要考查共线向量，零向量，相等向量，平行向量的定义，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：根据题意，，，，
又由，即，
则，，则有；
故选：
根据题意，求出向量的坐标，又由可得，求出a、b的值，即可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量加法、减法的运算，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：复数在复平面内对应的点为，

因为，
则，
将点A绕着原点逆时针旋转，得到的点B与点A关于y轴对称，即点，
因此，所求复数为
故选：
作出复数在复平面对应的点A，写出点A的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，
所以
故选：
根据向量运算法则直接计算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当时，圆与AB相切；
当时交于B点，也就是只有一解，
，且，即，
由正弦定理以及可得：，
，
解得x的取值范围是
故选：
由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．
此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：，
由正弦定理可得，，即，
，
，
，
又为直角三角形，
若，则，，，
则，
若，则，，，
则
故选：
根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题．
由顶角是的等腰三角形底边与腰的比值可得的正弦值，再由诱导公式可得，再由二倍角公式，求出的正弦值．

【解答】

解：由为等腰三角形且顶角，
所以，，
故选：
 

9.【答案】AD 

【解析】解：由正弦定理知：，
又，，，
所以，
因为，
所以，且，
所以或
故选：
由正弦定理及大边对大角即可求解．
本题考查了正弦定理及大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：因为D为BC中点，
所以，A正确；
由M为的重心可得，，
同理，，
所以，B正确；
因为，
所以，
，D正确．
故选：
由已知结合向量的线性表示及三角形的重心性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了平面向量的线性表示及三角形的重心的性质的简单应用，数基础试题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：对于A：设，
则，，
由O、B、P三点共线，得存在，使得，
得，
解得，，
所以，故A错误；
对于B：由上可知，
向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：设，则，
又，
则由，得①，
因为点Q在边AB上，
所以，即②，
由①②得，，，
所以，
所以，，
所以，故C正确；
对于D：因为R为线段OQ上的一个动点，
设，且，
则，，
所以，，
所以当时，的最大值为故D正确．
故选：
对于A：设，再由由O、B、P三点共线，得存在，使得，即可记得，y，即可判断A是否正确；
对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可判断B是否正确；
对于C：设，由，得①，由点Q在边AB上，得②，解得a，b，进而可得Q点坐标，计算，，即可判断C是否正确；
对于D：由R为线段OQ上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可判断D是否正确．
本题考查平面向量的数量积的运算，属于中档题．
 

12.【答案】BC 

【解析】解：对于A：当时，，，
在中，由余弦定理，得²²
，，故A错误；
对于B：时，设，，
则，所以，
因为，所以，
在中，根据正弦定理，，
可得，
化简得，所以，
所以，故B正确；
对于C：由B得时，，，，
所以，
当，即时，取到最大值1，
则的最大值为，故C正确；
对于D：由C得，当时，，，
所以在直角坐标系中，又，，
所以，
因为在上单调递增，故在上单调递增，
所以，，
所以，，
所以，故D错误，
故选：
对于A：由余弦定理，求出PA，即可判断A是否正确；
对于B：由正弦定理，求出，即可判断B是否正确；
对于C：由B得时，则，然后求出的面积的最大值，即可判断C是否正确；
对于D：由C得，当时，，，在直角坐标系中，结合，，得到，然后求出的面积的取值范围，即可判断D是否正确．
本题考查三角形中正余弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
由已知可得，然后根据即可求解．

【解答】

解：因为复数z满足等式，
则，即，
设，，则，
故，
所以，
故答案为

14.【答案】 

【解析】解：点M是的边BC的中点，，
，
故答案为：
根据平面向量的加减法运算和向量共线定理，即可求出结果．
本题考查平面向量的线性运算和向量共线定理，属于基础题．
 

15.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．
根据平面向量的数量积与向量投影数量的定义，计算即可．

【解答】

解：向量与的夹角为，且，，因为，，
所以，
，
所以向量在方向上的投影数量为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】解：由余弦定理得，
因为，，
，即，
所以当且仅当等号成立，
因为，
所以，
所以的面积最大值为
故答案为：
由余弦定理得出，平方关系计算出，利用基本不等式可得，根据可得答案．
本题考查了余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，


，
，
，
、D、E三点不共线． 

【解析】由平面向量的加法法则能用向量与表示向量
由，能求出C、D、E三点不共线．
本题考查向量的求法，考查三点是否共线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量的运算法则的合理运用．
 

18.【答案】解：，，
，，由余弦定理得，
，
选①：，在中，由正弦定理得，
，由知代入上式可得，解得，
，
，
，，故，
花卉种植区域总面积为
选②：，在中，由余弦定理得，解得或舍去，
，，
，，故，
花卉种植区域总面积为 

【解析】，利用余弦定可求AC的长；
选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
本题考查正余弦定理的应用，以及三角恒等变换，属中档题．
 

19.【答案】解：，，，
又与平行，，即，解得
，，
与夹角为，，
即，解得 

【解析】首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可．
首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

20.【答案】解：是线段上的一点，点，的坐标分别是，
当P是线段的中点时，点P分有向线段 成的比，设，
则，，故点P的坐标为
当P是线段的一个三等分点时，点P分有向线段 成的比 或2，设，
若，则，，故点P的坐标为 
若，则，，故点P的坐标为
综上可得，点P的坐标为 或  

【解析】由题意，利用定比分点分有向线段成的比的定义，可得，再利用定比分点坐标公式求得结果．
由题意，利用定比分点分有向线段成的比的定义，可得或2，再分类讨论，利用定比分点坐标公式求得结果．
本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，定比分点坐标公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：由正弦定理得：，
即
，
即


；
若，的面积，
①
再利用余弦定理可得：
，
②
结合①②求得 

【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；
若，由的面积为，求得①，再利用余弦定理可得②，结合①②求得b和c的值．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
又，
所以可得；
由三角形的周长为，，
所以，
由可得，而，
所以可得，可得，
所以；
所以的面积为；
由正弦定理可得：，，，，
所以，
又，所以B为锐角，所以，
所以，，
所以，
所以的值为 

【解析】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
由题意和余弦定理可得A的值；
由三角形的周长及a边，可得，再由和余弦定理可得bc的值，代入面积公式求出三角形的面积；
由和正弦定理可得B的正弦值，再由大边对大角可得B的余弦值，进而求出2B的正余弦值，由两角差的余弦公式可得的值．