安徽省宣城市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

宣城市2021-2022学年度第二学期期末调研测试

高一数学试题

考生注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

2. 答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.

3. 考生作答时，请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4. 考试结束时，务必将答题卡交回.

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在复平面内，设复数满足，则复数所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】设出复数的代数形式，再根据复数的乘法运算以以及复数相等的充要条件求出复数，进而根据复数的几何意义确定对应点所在象限.

【详解】设出复数的代数形式为，

，，

，解得，，

复数所对应的点为，在第四象限.

故选：D.

2. 某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为

A. 8 B. 11

C. 16 D. 10

【答案】A

【解析】

【详解】若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.

故答案为：A

点睛：设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．

3. 数据5，6，7，7，8，8，9，10的第75百分位数是（    ）

A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解.

【详解】数据从小到大排列：5，6，7，7，8，8，9，10，共个数，

，

该组数据的第百分位数是第项和第项的平均数，

即.

故选：C.

4. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412  451  312  533  224  344  151  254  424  142

435  414  335  132  123  233  314  232  353  442

据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（    ）

A. 0.4 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.6

【答案】B

【解析】

【分析】找出代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】由题意可知，代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组有：、、、、、、、、，共组，

因此，所求概率为.

故选：B.

5. 已知空间四边形中，，分别是，的中点，若，，，则与所成的角为（    ）

A 30° B. 45° C. 60° D. 90°

【答案】A

【解析】

【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.

【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.

∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数，

又EF⊥ AB，，∴ EF⊥ GF，则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°，

∴ 在直角△GEF中，，∴ ∠GEF=30°.

故选：A.

6. 中，点为上的点，且，若 ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案.

【详解】由题意可得

,

又，故，

故，

故选:B

7. 内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且，则的值为（    ）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理将条件展开，，从而求得的值.

【详解】由正弦定理知，，

即，

故，

故

故选：D

8. 如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积.

【详解】细沙在上部容器时的体积，

流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为，

则，

所以，

下部圆锥形沙堆的母线长，

故此沙堆的侧面积．

故选：D.

【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A. 若m⊥α，n⊥α，则mn B. 若α⊥β，m⊥β，mα，则mα

C. 若α⊥β，m⊂α，则 D. 若m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ

【答案】AB

【解析】

【分析】选项A.由线面垂直的性质可判断;选项B. 由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项C. 由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项D. 没有直线m，n相交的条件，所以α，β可能平行，也可能相交.

【详解】选项A. 由m⊥α，n⊥α，则mn，故A正确.

选项B. 由α⊥β，m⊥β，可得，或，由条件mα，所以，故B正确.

选项C. α⊥β，m⊂α,设，若不垂直于，则与平面也不垂直，故选项C不正确.

选项D. m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则α，β可能平行，也可能相交.故D不正确.

故选：AB

10. 下列命题正确的是（    ）

A. 若向量、满足，则或

B. 若向量，的夹角为钝角，则

C. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4

D. 设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】当都不为零向量满足时，，判断A;根据数量积的定义可判断B;计算出量在向量方向上的投影向量的长度即可判断C；根据，不共线可推出，不共线，即可判断D.

【详解】对于A，当都不为零向量且满足时，，故A错误；

对于B，因为 ，当向量，的夹角为钝角时，，

故，故B正确；

对于C，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为 ，故C正确；

对于D，由于，不共线，故，不共线，

故，可作为该平面的一个基底，D正确；

故选：BCD

11. 甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件：抽取的两个小球标号之积大于8，则（    ）

A. 事件A与事件是对立事件 B. 事件与事件是互斥事件

C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为

【答案】BC

【解析】

【分析】求得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；再写出事件A,B包含的基本事件，即可判断A,B；写出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判断C,D.

【详解】由题意知：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；

事件包含的基本事件有：

，，，，，，，，，，，共11个基本事件；

事件包含的基本事件有：

，，，，，，，，共8个基本事件，

可以看出，事件是事件的子事件，故错；

事件包括：，，，，，，，，共9个事件，

每个事件中两小球标号之积都小于8，故与事件是互斥事件，故正确；

事件包含的基本事件为：

，，，，，，，，，，，共11个，

所以事件发生的概率为，故正确；

事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12个，

所以事件包含的基本事件为：， ，，共3个基本事件，

所以事件发生的概率为，故不正确，

故选：．

12. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（    ）

A. 正四面体的棱长为6 B. 正四面体的内切球的表面积为

C. 正四面体的外接球的体积为 D. 线段的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】设这个四面体的棱长为，利用分割补形法求出其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解，然后逐个分析判断即可

【详解】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，

设外接球的半径为，内切球的半径为，则

，所以，

四面体的高为，则等体积法可得

，

所以，

由题意得，

所以，解得

所以A正确，

所以，所以外接球的体积为，所以C错误，

因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，

线段的最大值为，所以D正确，

故选：ABD

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知向量，，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可.

【详解】，，解得.

故答案为：.

14. 已知样本数据1，2，3，4，的平均数是3，则数据2，4，6，8，的方差是______.

【答案】8

【解析】

【分析】先由平均数公式列方程求出，再求新数据的方差

【详解】因为样本数据1，2，3，4，的平均数是3，

所以，解得，

所以数据2，4，6，8，10的平均数为

，

所以方差为，

故答案为：8

15. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意先计算出母线长，再可求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，

因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，

所以，解得，

因为，

所以，得，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的轴截面的面积是，

故答案为：

16. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，.若，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，由，为锐角，可得，解得的范围，可得求，，化简所求即可得解．

【详解】，

由正弦定理可得：，

，可得：，

即：，

，为锐角，可得：，可得：，

，

又，可得：，

综上，可得，可得：，，

，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在复平面内，复数，.

（1）当为纯虚数时，求复数；

（2）当时，复数对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转到达点，求所对应的共轭复数.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程组，求得，即得，计算可得答案;

（2）由题意求得，，继而求得，根据复数的几何意义以及共轭复数的概念可得答案.

【小问1详解】

由题意得 ，解得，

所以，则.

【小问2详解】

当时，，则，则，

所以，所对应的复数，

所以其共轭复数.

18. 2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出，进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.

（1）求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率；

（2）求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率.

【答案】（1），，；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可；

（2）这一小时内恰有一位小孩需要照顾，即是甲、乙、丙三位小孩中的一位需要照顾，其余两位不需要照顾，结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可.

【小问1详解】

设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，

则由题意得，解得.

即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.

【小问2详解】

设事件：这一小时内恰有一位小孩需要照顾，

则

，

即这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率为是.

19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.

（1）求角；

（2）若，______，求的周长.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问题.

注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）；   

（2）条件选择见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据两向量平行的坐标表示以及正弦定理得出，进而求出，即得角；

（2）若选择①：已知角和边，利用正弦定理以及余弦定理分别求出边，进而求出周长；若选择②：首先利用同角三角函数的基本关系式求出，然后利用正弦定理求出边，进而求出周长.

【小问1详解】

，，

由正弦定理得，

∵为三角形的内角，∴，

则，，

又，∴.

【小问2详解】

若选择①：中，由正弦定理得，

，

又由余弦定理得，

，

则周长为.

若选择②：，

在中，由正弦定理得，

，

，

.

则周长为.

20. 已知某校高一年级全体学生的期末数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），为了解该年级学生的数学成绩情况，现从该年级的1000名学生中随机抽取50名学生的数学成绩，并分成八组：第一组，第二组，……第八组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求第七组的频率，并补全频率分布直方图；

（2）求这50名学生数学成绩的平均分；

（3）记数学成绩在120分以上为“优秀”，试估计该年级数学成绩为“优秀”的学生的人数.

【答案】（1）0.08，直方图见解析   

（2）102分    （3）150人

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图中各矩形面积之和为1，求得第七组的频率，即可补全分布图；

（2）根据平均数的计算公式可求得这50名学生数学成绩的平均分；

（3）求出数学成绩在120分以上为“优秀”的概率，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得，

，

所以第七组的频率是0.08.

补全图形得如图：

【小问2详解】

，

所以这50名学生的数学成绩的平均分为102.

【小问3详解】

由频率分布直方图可知数学成绩为“优秀”的频率为

，由样本估计总体：，

所以得该年级“优秀”的学生大约有150人.

21. 如图，在中，，，，点在边的延长线上.

（1）求的面积；

（2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在中利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果，

（2）方法1：由题意可得，代值计算即可，方法2：在中利用余弦定理求出，则可求得，再在利用正弦定理求出，从而可求出，然后在中利用余弦定理可求得

【小问1详解】

中，，

因为，，

所以

因为

，

所以.

【小问2详解】

方法1：因为为线段上靠近的三等分点，

所以,

所以,

所以

，

则.

方法2：在中，由余弦定理得

，

因为为线段上靠近的三等分点，

所以，

因为，

所以，

因为为锐角，

所以，

在中，由余弦定理得，

，

所以.

22. 如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.

（1）求证：平面；

（2）求四面体的体积；

（3）求平面与平面的夹角的正切值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）先证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）根据三棱锥的体积公式即可求得答案.

（3）作辅助线，根据面面角的定义找到平面与平面的二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【小问1详解】

证明： 由题意， 可得，，平面，

平面平面，

所以平面，

又平面，则，

在正方形中，，

又，则平面.

【小问2详解】

因为平面，平面平面，

平面，

又，

故，.

【小问3详解】

记交于，连接，过作，交于，连接，

由题意知， ,O为BD中点，故，

∵ 平面，∴，则，则 平面,

则为平面与平面的夹角.

∵，∴平面，则,四边形AOGF为平行四边形，

故 ,由于 ,故平面BDE，

故平面BDE，平面BDE，故，

中,，

，，

则在中，，

故平面与平面夹角的正切值为.