2021-2022学年安徽省宣城市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年安徽省宣城市某校高二（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在等差数列an中， a1=1, a8+a10=10，则a5=（ ）
A.2B.3C.4D.5

2. 等比数列an的各项均为正数，且a3a8=3，则lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=（ ）
A.5B.10C.4D.2+lg35

3. 点A是曲线y=32x2−lnx上任意一点，则点A到直线y=2x−1的最小距离为（ ）
A.510B.55C.255D.5

4. 已知fx=x2−mlnx+2x在点12,f12处的切线与直线x−2y=0垂直，则m=（ ）
A.54B.−54C.52D.−52

5. 数列an中，a1=76，an2−an+1=an+1n∈N*，Sn是1an的前n项和，则S2020=（ ）
A.6−1a2020B.6−1a2021
C.6−1a2020−1D.6−1a2021−1

6. 已知函数gx=12x2−2alnx−2x在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A.−∞,0B.[0,+∞）C.[−12,+∞)D.(−∞,−12]

7. 记Sn为等比数列an的前n项和．若a5−a3=12,a6−a4=24，则Snan=（ ）
A.2n−1B.2−21−nC.2−2n−1D.21−n−1

8. 下列关于函数y=x2−1n的复合过程与导数运算正确的是（ ）
A.y=u−1n，u=x2，y′=2nxu−1n
B.y=tn，t=x2−1n，y′=2nxt−1n−1
C.y=un，u=x2−1，y′=2nxx2−1n−1
D.y=un，u=x2−1，y′=nx2−1n−1

9. 如果函数y=fx的导函数y=f′x的图象如图所示，则以下关于函数y=fx的判断：
①在区间−2,1内单调递增；②在区间3,4内单调递减；③在区间2,3内单调递增；④x=−3是极小值点；⑤x=4是极大值点．其中不正确的是（ ）

A.③⑤B.②③C.①④⑤D.①②④

10. 若函数f(x)满足f(x)=13x3−f′(1)x2−x，则f′(1)的值为( )
A.0B.1C.2D.3

11. 函数fx=13x3−ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≥0B.a≤0C.a>0D.a<0

12. 若f′(x0)=3，则limm→0f(x0−m)−f(x0)3m等于（ ）
A.3B.13C.−1D.1
二、填空题

已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q为正整数．若a1=d，b1=d2，且a12+a22+a32b1+b2+b3是正整数，则q= .

已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+12−an+1=an2+anan>0，则1S1+1S2+⋯+1Sn=________.

函数fx=xlnx的图象在点1,f1处的切线方程为________.

若函数fx=23x3−2x2+ax+10在−1,4上具有单调性，则a的取值范围是________.
三、解答题

已知函数f(x)=x3+ax2+bx的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−4，且x=−2时，y=f(x)有极值.
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[−3,2]上的最大值和最小值．

已知函数fx=x+4x ，gx=2x+a.
(1)求函数fx=x+4x在12,1上的值域；

(2)若∀x1∈12,1，∃x2∈2,3，使得fx1≥gx2，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=x3+ax.
(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=f(x)−xlnx在12,2上有零点，求a的取值范围.

已知an为等差数列，bn为等比数列，bn的前n项和为Sn，且a1=b1=1，a2=a3−b3，a3=S3+b2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn=an⋅bn，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．

设数列{an}满足a1+3a2+...+(2n−1)an=2n．
(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{an2n+1}的前n项和．

已知函数fx=ax3−9x+1,a∈R.
(1)若a=3，求函数fx的极值；

(2)若函数fx恰有三个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年安徽省宣城市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
等比数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题有a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=a1a10=3，
则lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=lg335=5.
3.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
导数的几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
不妨设fx=32x2−lnx，定义域为： 0,+∞，
对fx求导可得： f′x=3x−1x，
令f′x=2，
解得： x=1 （其中x=−13舍去）
当x=1时， y=32，则此时该点1,32到直线y=2x−1的距离为最小，
根据点到直线的距离公式可得： d=|2−32−1|5
解得： d=510
4.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
函数fx=x2−mlnx+2x定义域为0,+∞，求导得f′x=2x−mx+2
于是得函数fx的图象在点12,f12处切线的斜率k=f′12=3−2m
而直线x−2y=0的斜率为12，依题意， 12k=−1，即3−2m=−2，解得m=52.
5.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由an+1−an=an2−2an+1=an−12>0，得到an为递增数列，又由an+1−1=anan−1，得到1an=1an−1−1an+1−1，化简S2020=1a1+1a2+⋯+1a2020=1a1−1−1a2021−1，即可求解．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意得： g′x=x−2ax−2≥0在0,+∞上恒成立，即2a≤x2−2x，其中
fx=x2−2x=x−12−1在x=1处取得最小值，fxmin=f1=−1，所以2a≤−1，解得：a≤−12
7.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
8.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
10.
【答案】
A
【考点】
导数的运算法则
【解析】
先求出f′x=x2−2f′1x−1，令x=1，计算求出f′1)I+加加计算得f′x=x2−2f′1x−1
把x=1代入，得f′1=1−2f′1−1
f′1=0
故选：A
【解答】
解：f′x=x2−2f′1x−1，
把x=1代入，得f′1=1−2f′1−1，
f′1=0.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)= x2 −a，
若f(x)在R递增，
则x2−a≥0在R恒成立，即a≤x2在R恒成立，
故a≤0.
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
极限及其运算
【解析】
利用导数的定义即可得出．
【解答】
解：limm→0f(x0−m)−f(x0)3m=1−3⋅limm→0f(x0−m)−f(x0)−m=−13f′(x0)=1−3×3=−1．
故选C．
二、填空题
【答案】
2
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
【解析】
确定a12+a22+a32b1+b2+b3的表达式，利用a12+a22+a32b1+b2+b3是正整数，q是小于1的正整数，即可求得结论．
【解答】
解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2,
∴ a12+a22+a32b1+b2+b3=141+q+q2,
∵ a12+a22+a32b1+b2+b3是正整数，q为正整数，
令141+q+q2=t，t是正整数，则有q2+q+1=14t，
∴ q=−1+−3+56t2，
对t赋值，验证知，
当t=2时，有q=2，符合题意；
当t=8时，有q=12，不符合题意，
综上，q=2.
【答案】
2nn+1
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由an+12−an+1=an2+an，可得an+12−an2=an+1+an，即an+1−anan+1+an=an+1+an,
因为an>0，所以an+1−an=1,
又因为a1=1，所以an=1+n−1×1=n，
可得Sn=nn+12，所以1Sn=2nn+1=2×1n−1n+1，
所以1S1+1S2+⋯+1Sn=2×1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=2×1−1n+1=2nn+1，
故答案为： 2nn+1
【答案】
x−y−1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=lnx+1，则f′1=1，又f1=0，
所以切线方程为y−0=x−1，即x−y−1=0.
【答案】
−∞,−16∪2,+∞
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
−∞,−16∪2,+∞
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意可得f′x=3x2+2ax+b．
由题意可得f′0=b=−4，f′−2=12−4a+b=0，
解得a=2，b=−4，
经检验得x=−2时，y=fx有极大值，
所以fx=x3+2x2−4x.
(2)由(1)知f′x=3x2+4x−4=x+23x−2，
令f′x=0，解得x1=−2，x2=23，
f′x，fx的值随x的变化情况如下表：
由表可知fx在−3,2上的最大值为8，最小值为−4027.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得f′x=3x2+2ax+b．
由题意可得f′0=b=−4，f′−2=12−4a+b=0，
解得a=2，b=−4，
经检验得x=−2时，y=fx有极大值，
所以fx=x3+2x2−4x.
(2)由(1)知f′x=3x2+4x−4=x+23x−2，
令f′x=0，
解得x1=−2，x2=23，
f′x，fx的值随x的变化情况如下表：
由表可知fx在−3,2上的最大值为8，最小值为−4027.
【答案】
解：(1)f′(x)=1−4x2=x2−4x2，
因为x∈12,1，
所以f′x<0，即函数fx为减函数，
因为f12=172,f1=5，
所以值域为5,172.
（2）因为∀x1∈12,1，∃x2∈2,3，使得fx1≥gx2,
所以fx1min≥gx2min,
因为x2∈2,3，
所以gx2≥22+a=4+a,
所以5≥4+a，即a≤1.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=1−4x2=x2−4x2，
因为x∈12,1，
所以f′x<0，即函数fx为减函数，
因为f12=172,f1=5，
所以值域为5,172.
（2）因为∀x1∈12,1，∃x2∈2,3，使得fx1≥gx2,
所以fx1min≥gx2min,
因为x2∈2,3，
所以gx2≥22+a=4+a,
所以5≥4+a，即a≤1.
【答案】
解：(1)因为f(x)=x3+ax,所以f′(x)=3x2+a
①当a≥0时，因为f′(x)=3x2+a≥0，
所以f(x)在R上单调递增；
②当a<0时，令f′(x)>0，
解得x<−−3a3或x>−3a3.
令f′(x)<0，解得−−3a3则f(x)在−∞,−−3a3,−3a3,+∞上单调递增；
在−−3a3,−3a3上单调递减.
(2)因为g(x)=f(x)−xlnx，所以g(x)=x3+ax−xlnx，
g(x)=f(x)−xlnx在12,2上有零点，
等价于关于x的方程g(x)=0在12,2上有解，
即x3+ax−xlnx=0，在12,2上有解.
因为x3+ax−xlnx=0，所以a=−x2+lnx.
令h(x)=−x2+lnx，则h′(x)=−2x+1x=−2x2−1x.
令h′(x)<0,12≤x≤2，解得22令h′(x)>0,12≤x≤2，解得12≤x<22,
则h(x)在(22,2]上单调递减，在12,22上单调递增，
因为h12=−122+ln12=−14−ln2，
h(2)=−22+ln2=−4+ln2.
所以h12−h(2)=154−2ln2>154−2>0，
则h(x)min=h(2)=−4+ln2，
h(x)max=h22=−12+ln22=−12−12ln2，
故a的取值范围为−4+ln2,−12−12ln2.
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
由函数零点求参数取值范围问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f(x)=x3+ax,所以f′(x)=3x2+a
①当a≥0时，因为f′(x)=3x2+a≥0，
所以f(x)在R上单调递增；
②当a<0时，令f′(x)>0，
解得x<−−3a3或x>−3a3.
令f′(x)<0，解得−−3a3则f(x)在−∞,−−3a3,−3a3,+∞上单调递增；
在−−3a3,−3a3上单调递减.
(2)因为g(x)=f(x)−xlnx，所以g(x)=x3+ax−xlnx，
g(x)=f(x)−xlnx在12,2上有零点，
等价于关于x的方程g(x)=0在12,2上有解，
即x3+ax−xlnx=0，在12,2上有解.
因为x3+ax−xlnx=0，所以a=−x2+lnx.
令h(x)=−x2+lnx，则h′(x)=−2x+1x=−2x2−1x.
令h′(x)<0,12≤x≤2，解得22令h′(x)>0,12≤x≤2，解得12≤x<22,
则h(x)在(22,2]上单调递减，在12,22上单调递增，
因为h12=−122+ln12=−14−ln2，
h(2)=−22+ln2=−4+ln2.
所以h12−h(2)=154−2ln2>154−2>0，
则h(x)min=h(2)=−4+ln2，
h(x)max=h22=−12+ln22=−12−12ln2，
故a的取值范围为−4+ln2,−12−12ln2.
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1=b1=1,a2=a3−b3,a3=S3+b2,
即为1+d=1+2d−q2,1+2d=1+q+q2+q,
解得d=4,q=2,或d=0,q=0（舍去），
则an=1+4n−1=4n−3，bn=2n−1.
(2)cn=an⋅bn=4n−3⋅2n−1，
Tn=1×20+5×21+9×22+...+(4n−3)⋅2n−1，
2Tn=1×21+5×22+9×23+...+(4n−3)⋅2n
两式相减可得，−Tn=1+4(21+22+...+2n−1)−(4n−3)⋅2n
=1+4×2(1−2n−1)1−2−(4n−3)⋅2n，
化简可得，Tn=7+4n−7⋅2n.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
等比数列的前n项和
数列的求和
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求；
（2）求得cn=an⋅bn=4n−3⋅2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1=b1=1,a2=a3−b3,a3=S3+b2,
即为1+d=1+2d−q2,1+2d=1+q+q2+q,
解得d=4,q=2,或d=0,q=0（舍去），
则an=1+4n−1=4n−3，bn=2n−1.
(2)cn=an⋅bn=4n−3⋅2n−1，
Tn=1×20+5×21+9×22+...+(4n−3)⋅2n−1，
2Tn=1×21+5×22+9×23+...+(4n−3)⋅2n
两式相减可得，−Tn=1+4(21+22+...+2n−1)−(4n−3)⋅2n
=1+4×2(1−2n−1)1−2−(4n−3)⋅2n，
化简可得，Tn=7+4n−7⋅2n.
【答案】
解：(1)数列{an}满足a1+3a2+...+(2n−1)an=2n．①
n≥2时，a1+3a2+...+(2n−3)an−1=2(n−1)．②
①−②得，(2n−1)an=2，
∴ an=22n−1．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴ an=22n−1．
(2)an2n+1=2(2n−1)(2n+1)
=12n−1−12n+1，
∴ 数列{an2n+1}的前n项和
Sn=(1−13)+(13−15)+...+(12n−1−12n+1)
=1−12n+1=2n2n+1．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）an2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】
解：(1)数列{an}满足a1+3a2+...+(2n−1)an=2n．①
n≥2时，a1+3a2+...+(2n−3)an−1=2(n−1)．②
①−②得，(2n−1)an=2，
∴ an=22n−1．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴ an=22n−1．
(2)an2n+1=2(2n−1)(2n+1)
=12n−1−12n+1，
∴ 数列{an2n+1}的前n项和
Sn=(1−13)+(13−15)+...+(12n−1−12n+1)
=1−12n+1=2n2n+1．
【答案】
解：(1)因为a=3，所以fx=3x3−9x+1, f′x=9x2−9，
所以，当x<−1或x>1时， f′x>0；
当−1所以fx在−∞,−1和1,+∞单调递增，在−1,1单调递减，
所以fx的极大值为f−1=7, fx的极小值为f(1)=−5.
(2)f′x=3ax2−9=3ax2−3,
当a≤0时， f′x=3ax2−3≤0恒成立，fx在R上单调递减，fx至多一个零点，不合题意；
当a>0时，令f′x=0，则x=±3a，
所以，当x<−3a或x>3a时， f′x>0；
当−3a所以fx在−∞,−3a和3a,+∞单调递增，在−3a,3a单调递减，
所以fx的极大值为f−3a=63a+1，
fx的极小值为f3a=−63a+1，
又fx恰有三个零点，所以 63a+1>0−63a+1<0 ，解得0综上，a的取值范围为0【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a=3，所以fx=3x3−9x+1, f′x=9x2−9，
所以，当x<−1或x>1时， f′x>0；
当−1所以fx在−∞,−1和1,+∞单调递增，在−1,1单调递减，
所以fx的极大值为f−1=7, fx的极小值为f(1)=−5.
(2)f′x=3ax2−9=3ax2−3,
当a≤0时， f′x=3ax2−3≤0恒成立，fx在R上单调递减，fx至多一个零点，不合题意；
当a>0时，令f′x=0，则x=±3a，
所以，当x<−3a或x>3a时， f′x>0；
当−3a所以fx在−∞,−3a和3a,+∞单调递增，在−3a,3a单调递减，
所以fx的极大值为f−3a=63a+1，
fx的极小值为f3a=−63a+1，
又fx恰有三个零点，所以 63a+1>0−63a+1<0 ，解得0综上，a的取值范围为0−3
(−3,−2)
−2
(−2,23)
23
(23,2)
2
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
函数值
3
8
−4027
8
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,23)
23
(23,2)
2
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
函数值
3
8
−4027
8