2021-2022学年安徽省宣城市第二中学高二下学期期末模拟数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省宣城市第二中学高二下学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合A、B，再去求即可

【详解】，

，

则.

故选：A.

2．已知（为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求.

【详解】，而为实数，故，

故选：B.

3．设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（       ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

【详解】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出，

比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

4．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（       ）（结果精确到0.1，，，）

A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.7小时

【答案】D

【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，

由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，

得，，

则，则给氧时间至少还需要小时

故选： D

5．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.

【详解】解：因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

故选：D.

6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

【详解】由题意

，

所以，，

.

故选：D.

7．已知的展开式中常数项为20，则                              （       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求展开式中含和项，然后可得的展开式中常数项，根据已知解方程可得.

【详解】展开式中第项，

当时，，时，，

所以的展开式中常数项为，

所以，得.

故选：B

8．已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的知识求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.

【详解】因为，所以或，

又，所以.

由可知：，所以，

则，

，

由可得取等号时，但，无解；

又，经检验且时有最小值.

故选:B

9．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（       ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据与的关系图可得正确的选项.

【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,

设正四棱锥的底面边长为，高为，

则，,

所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，

当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，

又时，，时，,

所以正四棱锥的体积的最小值为，

所以该正四棱锥体积的取值范围是.

故选：C.

11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得、，翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，其中，翻折后，利用勾股定理求出关于的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得的最小值及的值，再利用角平分线的性质可求得的值.

【详解】在椭圆中，，，，，

因为，且点为第一象限内的点，则，可得，

翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，

设，其中，

则，，，

，

所以，，

翻折后，如下图所示：

因为平面平面，平面平面，平面，

，平面，

平面，，又因为，

，

，则，故当时，即当时，取得最小值，

则在翻折前，在中，为的角平分线，

所以，，即.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为自变量，将的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合三角函数的有界性来求解.

12．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

二、填空题

13．已知向量，满足，，，则_________.

【答案】

【分析】根据向量模的计算公式即可解出．

【详解】由可得，，即，解得：，所以．

故答案为：．

14．若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是____．

【答案】

【分析】圆A与不等式组表示的平面区域有交点，作出图象易求得a的取值范围.

【详解】作出不等式组的图象，如下图，

圆A与不等式组表示的平面区域有交点，

可知圆的圆心为到直线的距离为：，

由，解得：，所以，同理，

则圆心与可行域内的点的距离的最大值为，

所以，即实数的取值范围是：.

故答案为：.

15．已知，点A，B，C是函数与的图象中连续相邻的三个公共点，若△ABC是钝角三角形，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】画出图象，求出，根据两函数相等得到，从而求出，根据为钝角三角形，只需，从而得到，求出.

【详解】如图，记为连续三交点（不妨设点在轴下方），为的中点.

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，，

由，整理得，

得，

则，所以，

要使为钝角三角形，只需即可，由，

所以.

故答案为：

16．已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________

【答案】2

【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.

【详解】解：因为为奇函数，所以，且，

又关于直线对称，所以，

所以，

则，

所以函数是以4为周期的周期函数，

作出函数和的图像如图所示：

由的正数解依次为、、、、、，

则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，

所以.

故答案为：2.

三、解答题

17．某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：

(1)补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动的类型与性别有关？

(2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人接受采访，记抽到参加文艺活动的人数为，求的分布列与期望．

附：

，其中．

【答案】(1)填表见解析；在犯错的概率不超过的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）先直接补齐联列表，然后计算，即可求解；

（2）先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则的可能取值为0，1，2，3，再求出每个值所对应的概率即可求解

【详解】(1)依题意，列联表如下：

，

故在犯错的概率不超过的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关．

(2)因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名，用分层抽样方法抽取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则的可能取值为0，1，2，3，

所以，

．

所以的分布列为

所以．

18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为线段上的点，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若，且在线段上存在一点，使得平面.请确定点的位置.并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

(2)为BC中点，证明见解析

【分析】（1）先证明面即可证明结论；

（2）取三等分点，使得，连接，进而得平面，再延长交于点， 利用三角形相似求解即可.

【详解】(1)证明：为矩形

又

平面，

平面

平面平面

(2)解：取三等分点，使得，

连接平面平面则平面

延长交于点，

，∴，即

为BC中点

19．记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)见解析

(2)14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.

【详解】(1)证明：因为，

所以，

所以，

即，

所以；

(2)解：因为，

由（1）得，

由余弦定理可得，

则，

所以，

故，

所以，

所以的周长为.

20．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

[方法二]【最优解】：

 由已知条件知       ①

于是．            ②

由①②得．        ③

又，            ④

由③④得．

令，由，得．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法三]：

   由，得，且，，．

又因为，所以，所以．

在中，当时，．

故数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法四]：数学归纳法

   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．

下面用数学归纳法证明．

当时显然成立．

假设当时成立，即．

那么当时，．

综上，猜想对任意的都成立．

即数列是以为首项，为公差的等差数列．

(2)由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【整体点评】

（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；

方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；

方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．

（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；

21．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足

(1)求点的轨迹方程；

(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形

【答案】(1)

(2)存在，证明见解析

【分析】（1）设点在圆上，故有，设，根据题意得，，再代入圆即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立得：，，，再根据题意求解判断即可.

【详解】(1)设点在圆上，

故有，设，又，可得，，

即，

代入可得，

化简得：，故点的轨迹方程为：.

(2)根据题意，可设直线的方程为，

取，可得，，

可得直线的方程为，直线的方程为

联立方程组，可得交点为；

若，，由对称性可知交点，

若点在同一直线上，则直线只能为：上，

以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上.

由，整理得

设，，则，

设与交于点，由，可得

设与交于点，由，可得，

因为

，

因为，即与重合，

所以当变化时，点均在直线：上，

因为，，所以要使恒为等腰三角形，只需要为线段的垂直平分线即可，根据对称性知，点.

故存在定点满足条件.

【点睛】求定点问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．

22．已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，

（Ⅲ）如果，且，证明

【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【详解】（Ⅰ）解：f’

令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表

所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．

又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

（Ⅲ）证明：（1）

若

（2）若

根据（1）（2）得

由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.