2021-2022学年安徽省六安市舒城中学高一（下）第二次统考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年安徽省六安市舒城中学高一（下）第二次统考数学试卷

1.  已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么(    )

A.  B. 1 C.  D. 4

2.  的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，均为单位向量，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的(    )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

6.  将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知平面向量满足，，，若对于任意实数k，不等式恒成立，则实数t的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，D是线段BC上的一点，且，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知向量，，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 若在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 存在，使得
D. 的最大值为
 

10.  对于，有如下判断，其中正确的判断是(    )

A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形
 

11.  已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个命题中正确的命题是(    )

A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
 

12.  已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有(    )

A.
B.
C.
D. 的最小值为

13.  已知，，，则______.

14.  已知A、B、C三点共线，对该直线外任意一点O，都有，则的最小值为______.

15.  海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在群岛上取两点C，D，测得，，，，则A，B两点间的距离为______.

16.  已知，，且，则的最小值为__________.

17.  设两个向量，满足，
若，求的夹角；
若夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

18.  已知，，且
求函数的解析式；
当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出相应的x的值．

19.  如图，在平面直角坐标系xOy上，点，点B在单位圆上，
若点，求的值；
若，，求

20.  目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高眼晴到水平面的距离，该同学在初始位置C处眼睛所在位置测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为

求出山高结果保留整数；
如图2，当该同学面向基站AB前行时保持在同一铅垂面内，记该同学所在位置M处眼睛所在位置到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为试问当x多大时，观测基站的视角最大？
参考数据：，，，

21.  已知在平面直角坐标系中，点、点其中a、b为常数，且，点O为坐标原点．
设点P为线段AB靠近点A的三等分点，，求的值；
如图，设点，，…，，…，是线段AB的n等分点，，其中，n，，，求用含n和k的式子表示，并且当时，求……的值用含a、b的式子表示；
若，，求的最小值．
 

22.  对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.
设，，，，生成函数若不等式在上有解，求实数t的取值范围.
设函数，，是否能够生成一个函数且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由题意可得，又与的夹角为，
，
则

故选：
由已知求出的值，再由，展开后代入数量积得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，，，
由余弦定理可得，解得：，

故选：
由已知利用余弦定理可求c的值，利用等腰三角形的性质可求A的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题.
根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可.

【解答】

解：若，
则，
又，均为单位向量，即，
，即，
“”是“”的充分条件；
若，则，
，均为单位向量，
，
，
，
，则，
“”是“”的必要条件；
综上，“”是“”的充要条件，
故选

4.【答案】C 

【解析】解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，
故正六边形ABCDEF的内切圆半径为，外接圆半径
而
易知，即
所以的取值范围是
故选：
先利用平面向量的线性运算法则，将用向量来表示，然后将所求表达成的形式，结合函数思想求范围．
本题考查平面向量的线性运算和数量积的运算及性质，属于中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算和几何意义，属中档题．
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由，可得答案．

【解答】

解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，

向量的方向与的角平分线一致
的轨迹一定通过的内心
故选：

6.【答案】D 

【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，
纵坐标保持不变，得到函数的图象，
故的周期为，且的最大值为1，最小值为，
若，
所以 和是函数的最大值和最小值，
令，，则，，
所以，，
当时，取得最小值为
故选：
利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由，，，得，
又对于任意实数k，不等式恒成立，
即对于任意实数k，不等式恒成立，
即对于任意实数k，不等式恒成立，
即，
解得：或，
故选：
由向量的模的运算得：易得，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式恒成立，
由二次不等式恒成立问题得：，解得：或，得解．
本题考查了向量的模的运算、平面向量数量积的性质及其运算及二次不等式恒成立问题，属中档题
 

8.【答案】C 

【解析】解：，
由，得，，代入上式得，
又因为D、M、N三点共线，所以，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为
故选：
，把，代入上式，再根据三点M、D、N共线求得与的关系，然后把转化为关于的函数，可解决此题．
本题考查向量线性运算及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：对于A，，所以，故A错误；
对于B，根据投影向量的计算方法可知，，故，故B正确；
对于C，当，，时，，此时原式成立，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：
利用数量积的概念和性质以及数量积的运算，逐项判断即可．
本题考查平面向量的数量积概念和性质，属于中档题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

结合三角形的大边对大角，正弦定理及余弦定理分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．

【解答】

解：若，则，一定为等腰三角形，A正确；
若，则，即，
所以，B正确；
若，，，由余弦定理得，，
所以，故符合条件的有一个，C错误；
若，则若，
由余弦定理得，即C为钝角，D正确．
 

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中等题．
对于A，由正弦定理可得，，可判断A；对于B，由正弦定理可得，可判断B；对于C，由正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合AB的范围可求，可判断C；对于D，由余弦定理可得角C为锐角，角A，B不一定是锐角，可判断

【解答】

解：对于A，由，由正弦定理可，
即，所以，是等边三角形，A正确；
对于B，由正弦定理可得，可得，
所以或，可得是等腰或直角三角形，B不正确；
对于C，由正弦定理可得，即，因为，可得，因为A，，所以，为等腰三角形，C正确；
对于D，由正弦定理可得，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确．
故选：

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质及数形结合思想，考查方程的根的分布，属于中档题．
画出函数和的图象，再数形结合即可解答．

【解答】

解：由题意，当时，；当时，；当时，
作出函数的图象，如图所示，

易知与直线有四个交点，
分别为，，，，
因为有四个不同的解，，，且，
所以，，且，，
又，，
所以，即
所以，且，
构造函数，且，
可知在上单调递减，且，
所以的最小值为
于是A，B，D正确，C错误．
故选：

13.【答案】 

【解析】解：因为；
，
；
，
；
故答案为：
由，先求出的坐标，然后根据，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示，属于基础题．
 

14.【答案】16 

【解析】解：根据题意，A、B、C三点共线，对该直线外任意一点O，都有，
则有，
，当且仅当时等号成立，
即的最小值为16，
故答案为：
根据题意，由平面向量基本定理可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及平面向量基本定理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：

中，，，，
，由正弦定理，得，解得，
中，，，
，
，，
中，由余弦定理，得
，
，即A，B两点间的距离为，
故答案为：
根据题意画出图形，中利用正弦定理求出BD的值，中利用等角对等边求出AD的值，再在中由余弦定理求出AB的值．
本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查学生逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
由题意及基本不等式可得，则目标式有，利用基本不等式即可求出其最小值．

【解答】

解：，，，，
，当且仅当时等号成立，
，
当且仅当，即，时等号成立，
的最小值为
故答案为：

17.【答案】解：设的夹角为，其中，

解得，所以
即的夹角为
，
，
向量与的夹角为钝角，
，
解得
设
，解得，
当时，
即时，向量与的夹角为
所以向量与的夹角为钝角时，t的范围是 

【解析】设的夹角为，由题意建立关于的方程，解方程可得结果；
夹角为钝角即且向量与不反向，结合向量的数量积运算可得结果．
本题考查平面的数量积运算，考查向量夹角为钝角的充要条件，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
即，
，由，可得，
，的最小值为，，
，此时，，即 

【解析】
函数，根据，求得，得到，从而得到函数的最大值及相应的 x的值．
本题考查两个向量的数量积公式，三角函数性质及简单的三角变换，根据三角函数的值求角，化简函数的解析式，是解题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：由点，，，
；
，

，

，
解得，，


 

【解析】本题考查三角函数的定义、向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；
利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．
 

20.【答案】解：由题知，，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，，即，
所以，
所以山高
由题知，，则
在中，，
在中，，
由题知，
则，
当且仅当即时，取得最大值，即视角最大．
说明：x近似为整数173m也可． 

【解析】本题考查余弦定理以及正弦定理、两角和差正切公式的应用，考查了三角函数、基本不等式在直角三角形中的应用，属于中档题．
根据题意由正弦定理可直接求出山高BE；
由两角和差正切公式和基本不等式的应用，知，，，则
，可得观测基站的视角最大．
 

21.【答案】解：因为，
点P为线段AB上靠近A点的三等分点，所以，
所以，即；
由题意得，，
，
事实上，对任意的正整数m，n，且，
有，，
，
所以；
时，线段AB上存在一点M，使得，，且存在点，，
则，，
，
所以，
即线段AB上一点M，到点O和点N的距离之和，作点O关于线段AB的对称点，
则最小值为 

【解析】由向量共线，可知，向量可以用向量表示出来，再根据P为AB的三等分点，即可解决．
向量可以用与向量表示出来，向量也可以用与向量表示出来，联立可以发现规律，进而问题得到解决．
转化为直线AB上一点到点O，N的距离之和．
本题考查了向量基本定理，向量长度的计算，转化思想，属于基础题．
 

22.【答案】解：由题意可得，，，，，
所以，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，
由在上单调递减，
所以当时，y取得最大值，
故
设，
则
由，得，
整理得，
即，
即对任意x恒成立，
所以
所以

设，，
令，
则，
由对勾函数的性质可知y在单调递减，上单调递增，
在单调递增，
，
且当时取到“=”．
，
又在区间的最小值为，
，且，此时，
所以 

【解析】根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
利用待定系数法设，利用，得到对任意x恒成立，从而得到，再利用换元法以及双勾函数的性质进行分析求解，即可得到答案．
本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．