安徽省六安市舒城中学2023届高三数学仿真模拟卷（三）（Word版附解析）

舒城中学2023届仿真模拟卷（三）

数  学

时间：120分钟   分值：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，则“”是“”的（    ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】当时，即，，充分性；取，则，，不必要，得到答案.

【详解】设，，当时，即，

，充分性；

取，则，，不必要性.

综上所述：“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2. 若函数（其中，且）可化为，则应满足条件（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到，进而求得.

【详解】

，

其中，

函数（其中，且）可化为，

，即，

，

，即，，

故选：C.

【点睛】本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.

3. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（    ）

A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】由题得：，故，

因为，所以根据对称性得：.

故选：D.

4. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（    ）（参考数据：，参考公式：）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由勾股定理算出高h，即可由公式求体积.

【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为，则，

故.

故选：B

5. 已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中则事件与事件（    ）

A. 是互斥事件，不是独立事件

B. 不是互斥事件，是独立事件

C. 既是互斥事件，也是独立事件

D. 既不是互斥事件，也不是独立事件

【答案】B

【解析】

【分析】

由可判断事件是否为互斥事件，由可判断事件是否为独立事件.

【详解】因为，

所以，，，

所以事件与事件不是互斥事件，

所以，，

所以，所以事件与事件是独立事件.

故选：B.

6. 已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解.

【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以函数的周期为4，

所以，

因为，所以.

故选：C.

7. 已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可.

【详解】解：设，则，，

由题知关于x轴对称，关于轴对称，

所以，，即，，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以椭圆的离心率为.

故选：B

8. 已知，，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知，，可得，且a＞1＞b＞0，不难判断x，y，z的大小关系，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.

【详解】∵a＞b＞0，，

∴可得，且a＞1＞b＞0，

∴，

，

，

又，

，单调递增，

，

∴，

∴，

∵，，，

根据对数函数性质可得，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A. 第6项和第7项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256

C. 常数项为84 D. 有理项有2项

【答案】BC

【解析】

【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.

【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；

由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；

展开式的通项为 ，令，解得．

故常数项为，故C正确；

有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．

故选：BC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线

B. 若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则

C. 设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件

D. 若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补

【答案】AB

【解析】

【分析】对于选项ABC，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；

对于选项D，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.

【详解】选项A，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线与平面平行，与条件相矛盾，故选项A正确；

选项B，由面面平行的判定定理可知选项B正确；

选项C，当直线不相交时，由线面垂直的判定定理知：且时，得不到，故选项C错误；

选项D，当，时，可满足题设条件，此时平面与平面所成的二面角为,平面与平面所成的二面角为，故选项D错误.

故选：AB

11. 定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称

C. 图象的一个对称中心为

D. 在区间上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．

【详解】依题可知，于是，于是，

∴，又，

∴，∴，

对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；

对于B，因为，

所以将的图象向右平移个单位长度后得，

则，所以不关于原点对称，故B错误；

对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；

对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．

故选：ABC．

12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 点的横坐标的取值范围是

B. 的取值范围是

C. 面积的最大值为

D. 的取值范围是

【答案】BC

【解析】

【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.

【详解】设点，依题意，，

对于A，，当且仅当时取等号，

解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；

对于B，，则，

显然，因此，B正确；

对于C，的面积，当且仅当时取等号，

当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，

所以面积的最大值为，C正确；

对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.

故选：BC

【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则在上的投影为______.

【答案】##

【解析】

【分析】先求，，再求，，，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.

【详解】因为，

所以，，

所以，，，

设向量与的夹角为，，

那么在上的投影为

|故答案为：.

14. 已知圆柱两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.

【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，

由题意可知，，

又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，

而圆柱的侧面积，，

因为，当且仅当，即，时等号成立，

所以，，

故答案为：

15. 已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于______.

【答案】

【解析】

【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.

【详解】令，

则函数的定义域为，导函数，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取极大值，极大值为，

所以，故，

又成等比数列，所以，

故答案为：.

16. 如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按，再按），则和的最终状态都未发生改变的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.

【详解】要使得的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，要使得的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个，

所以要使得和的最终状态都未发生改变，

则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，故所求概率为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得和的最终状态都未发生改变，

则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，是解题的关键.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，前n项和为，求成立的n的最大值.

【答案】（1）   

（2）7

【解析】

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；

（2）代入等比数列的前项和公式即可.

小问1详解】

设数列的公差为：，

，

，

.

，

即.

【小问2详解】

，，

，

数列为等比数列，所以

由，即，

化简得：，解得，，

所以，要使成立的n的最大值为：7.

18. 已知函数）的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用最大值和最小值，求出，通过函数的周期求出，由经过，求出，即可求出的解析式；

（2）利用，结合正弦定理，求出，利用函数的解析式的表达式，通过的范围求出函数的取值范围.

【小问1详解】

由图象知函数的最大值为1，最小值为，所以

由图象知函数的周期，所以，

将点代入解析式得，因为，所以，

所以.

【小问2详解】

由得：，

所以，

，

因为，所以，所以，，，

由（1），

又，，所以，

所以.

所以的取值范围为.

19. 如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

（1）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面与面的交线，因此先作两平面交线，再在平面内作交线的平行线.

（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

延长，设其交点为，连接，

则为平面与平面的交线，

取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．

证明如下：延长，设其交点为，连接，

则为平面与平面的交线，

因为，所以，又，

所以，

所以，又，

所以四边形为平行四边形，所以，

取的中点，连接，

∵分别为的中点，

∴，∴．

∵平面， 平面，

∴平面．

  【小问2详解】

以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得，

所以，

设平面的法向量为，

则得，

取得，，

平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.

其中，

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.

（2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：

（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；

（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.

附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

参考数据：，，.

【答案】（1）适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率   

（2）（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；

（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.

【小问1详解】

由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.

令，先建立y关于t的线性回归方程.

由于，

，

该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，

因此y关于年份数x的回归方程为

所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为

.

所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.

【小问2详解】

设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，

则，，，

，，.

（i）由全概率公式得，

，

所以该航班准点放行的概率为0.778.

（ii），

，

，

因为，

所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.

21. 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.

（1）求双曲线的方程

（2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；

（2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可.

【小问1详解】

因为双曲线的离心率为，所以，即，

所以双曲线的方程为，

联立直线与双曲线的方程，消去得，

即，

因为与双曲线C仅有一个公共点，

所以，

解得,

故双曲线的方程为.

【小问2详解】

设，，则满足

消去得，

所以，，

如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，

则AH的方程为.

代入得，即（舍去）或.

所以点H为.

所以

，

所以，

故为的垂心，得证.

【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.

22. 已知（且），．

（1）求在上的最小值；

（2）如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）-1    （2）

【解析】

【分析】（1）对求导，因为为偶函数，求出在的单调性，即可求出上的最小值；

（2）由（1）知，在上的最小值为 ，所以，使得成立，即成立，即，设，，即只需即可．

【小问1详解】

，

显然为偶函数，当时，

时，，，∴在单调递增；

时，，，∴在单调递减；

，，，∴在上的最小值为．

由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为．

【小问2详解】

先证，设，则，

令，令，

∴在上单调递增，在上单调递减．

故①恒成立．

由题意可得，使得成立，

即成立．

由①可知，

参变分离得，

设，，

即只需即可．

由①知得，

∴

令，令，

∴在上单调递减，在上单调递增．

∴，

∴，

又已知

故a的取值范围为．