安徽省六安市舒城中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题（含答案）

舒城中学2022-2023学年度第一学期第二次统考

高一数学

时间：120分钟  满分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2.如果，则正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

3.有下列四个命题：

①，；②；③，；④

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.设，，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法确定

5.设集合，集合，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（    ）

A．里 B．里 C．里 D．里

7.若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C. D.

8.已知关于x的一元二次方程的解集为，且实数，满足，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若且，则 D．

10.，关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

11.若实数，满足，以下选项中正确的有（    ）

A. 的最大值为  B. 的最小值为

C. 的最小值为5 D. 的最小值为

12.已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是______.

14.学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有___________人.

15.的解集中有且仅有3个整数解，则实数的取值范围是________.

16.已知且，则的最小值是___________.

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合，集合.

（1）若；求实数m的取值范围；

（2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.

18.已知全集.集合，集合；集合.

（1）求及

（2）若，求a的取值范围.

19.（1）设，比较与的大小；

（2）已知，，为不全相等的正实数，求证：.

20.随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段。2019年5月16日，美国政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入所谓实体清单.值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书.华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x（单位：亿元）有关，其公式为

（1）若时，华市场占有率超过，试估计每日研发经费的大致范围.（）

（2）若时，华为市场占有率的最大值为，求常数m的值.

21.（1）已知的解集为，求，.

（2）解关于的不等式.

22.设函数.

（1）若不等式对于实数任意时恒成立，求实数的取值范围；

（2）命题：，，使成立.若为真命题，求实数的取值范围.

舒城中学2022-2023学年度第一学期第二次统考

高一数学（答案与解析）

命题：        审题：        磨题：

时间：120分钟    满分150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【解析】∵集合，，则

故选：B

2.【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】

对于A：取，则，故A错，

对于B：若，则，故B错误，

对于C：由同号可加性可知：，，则，故C正确，

对于D：若，，，，则，，，故D错误

故选：C

3.【答案】B

【解析】对于①，，，故命题成立；

对于②，显然当时满足，但，故命题为假；

对于③，显然时满足，成立，故命题为真；

对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假.

综上，真命题的个数为2.故选：B.

4.【答案】A

【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案

【详解】解：因为，，

所以，

∴，

故选：A

5.设【解析】由可得.

故选：D.

6.【答案】D

【分析】

根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.

【详解】

因为1里步，

则由图知步里，步里.

由题意，得，

则，

所以该小城的周长为，

当且仅当时等号成立.

故选：D.

7.【答案】B

【解析】

【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得a的范围.

【详解】解：依题意得，当时，恒成立，

又因为，当且仅当时取等号，

所以，的最大值为，所以，解得a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，利用判别式大于零和韦达定理求解分式型不等式即可.

【详解】由题意可知，，为一元二次方程的两个不同的根，

故，解得或，

由韦达定理可知，，，

从而

解分式不等式可得，或，

又因为或，

所以实数m的取值范围为.

故选：C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

由不等式的性质逐一判断即可

【详解】

解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；

对于B，等价于，又，故成立，故B正确；

对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；

对于D，等价于，成立，故D正确.

故选：BCD.

10.【答案】BD

【解析】

【分析】由已知条件得出，求出实数a的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】，关于x的不等式恒成立，则，解得.

故选：BD.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

对A，利用基本不等式直接判断即可；对B，利用常数代换法求出最值判断即可；对C，利用拼凑法将化为，再利用常数代换法求出最值判断即可；对D，利用不等式，求出的最小值判断即可.

【详解】对A，因为m，，所以，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A正确；

对B，因为m，，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B错误；

对C，因为，所以，

所以

，

当且仅当即，时，等号成立，不符合题意，故C错误

对D，因为m，，，所以，即，

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故D正确.

故选：AD

12.【答案】ABD

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.

【详解】由题意，不等式（）的解集是，

所以，∴，所以A正确；

对于B：变形为，其解集为，

所以，得，故成立，所以B正确；

对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：

，所以C错误；

对于D：若不等式的解集为，

即的解集为，由韦达定理知：

，，

则，解得，

所以D正确

故选：D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】且

【解析】

【分析】根据集合中元素个数，再由方程的解的个数得参数范围.

【详解】集合A有两个个元素，

所以，所以且.

故答案为：且.

14.【答案】8

【解析】

【分析】首先设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，从而可得到只参加一项比赛的人数，结合已知条件求出x，从而可得到只参加球类一项比赛的人数

【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，

结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人，只参加田径比赛的有人，

故，解得，

从而只参加球类一项比赛的有8人

故答案为：8

15.【答案】

【解析】

【分析】由不等式的解集中只有三个整数得，的解为-1和，在时，不合题意，只有，然后由三个整数得出的范围，从而得a的范围.

【详解】时，不等式为，，不合题意；

因此，所以，否则有无数个整数解.

，由得或，

则，否则不等式的解集中无整数解.

所以的解为，解集中有三个整数，则，解得<，不等式解集为有三个整数：-2，-3，-4.

故答案为：.

16.【答案】3

【解析】

【分析】构造基本不等式求出最小值.

【详解】因为，且，所以，

所以，

当且仅当，即，时取等号.

所以的最小值是3.

故答案为：3

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）分和两种情况讨论，建立不等式组，即可求出实数m的取值范围；

（2）利用集合法判断充要条件，有建立不等式组，即可求出实数m的取值范围

【详解】（1）集合，集合.

当时，显然有，此时，解得：；

当时，

要使，只需或，解得：或无解.

综上：

所以实数m的取值范围； --------------5分

（2）命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，则有.

所以解得：.

所以实数m的取值范围. ---------------10分

18.【答案】（1）， 或；（2）

【解析】

【分析】（1）将集合A，B化简，再结合交并补运算求解即可；

（2）由，分为和两种情况求解即可

【详解】（1）由可得，化简集合B可得，故， -------------2分

或，则或；-----------5分

（2）由（1）知，因为，故当，，解得；

当时，，解得，

综上所述， ---------------12分

19.【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由于与均为正数，所以作商与1比较即可得出结论；

（2）利用基本不等式，分析转化证明即可.

【详解】（1）因为，所以，

，

故. -----------6分

（2）只证即可

左边，

当且仅当时取等号，又a，b，c不全相等，故等号取不到，故原结论成立.-------------12分

20.【答案】（1）每日研发经费大约在0.6亿元到1.65亿元之间；（2）.

【解析】

【分析】（1）由题意，，解不等式，结合近似值的计算可得结论；

（2）先利用不等式性质求得最大值，再由最大值为，解答即可.

【详解】（1）由已知得，

整理得，得，

将代入得.

∴.每日研发经费大约在0.6亿元到1.65亿元之间；-------------5分

（2）依题意得，

∵，当且仅当时，取等号，

∴，

∴. -----------12分

21.【答案】（1），；（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）解方程组即得解；

（2）先求出，再对a四种情况讨论得解

【详解】（1）由题得，所以，.------------4分

（2），若即，则解集为R.

若即或，

当时，解集为，当时，解集为.

若即或时，，

故解集为或.

综上可得：

当时，解集为R

当时，解集为，当时，解集为.

若或时解集为或. -----------12分

22.【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）问题转化为对实数恒成立，即对实数恒成立，从而得到，求解不等式即可；

（2）由题意知：在的最小值大于等于在上的最小值即可，分，，三种情况讨论，即可得出答案.

【详解】解：（1）原式可化为对任意实数，恒成立，

即对任意实数恒成立，

因为恒成立，

则只需满足任意实数，恒成立，

因为，故即可，

所以

则，

解得；--------------------5分

（2）由题意知：

在的最小值大于等于在上的最小值即可，

，当且仅当，即时，取等号，

所以在上的最小值为3，

若即，则，则，易得，

若即，则，则矛盾，

，即，则，易得.

综上可得：.------------12分