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2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{x|x＜} D．A∪B＝R
2．（5分）下列四个命题，真命题的是（ ）
A．∀x∈Q，x2﹣1＝0 B．∃x∈Z，5x﹣1＝0
C．∃x∈N，1＜4x＜3 D．∀x∈R，x2+x+2＞0
3．（5分）若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．（5分）函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）
5．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
6．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
7．（5分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）
C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）
8．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．不是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
9．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A． B．10 C．20 D．100
10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[）
11．（5分）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
12．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
14．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共20分）
15．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，则m的值为 ；
16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为 ．
17．（5分）已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a+b＝ ．
18．已知函数+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a﹣b＝ ．
19．（5分）若，则＝ ．
20．已知＝﹣，则sin（2）的值是 ．
三、解答题（本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算或化简下列各式
（1）；
（2）．
22．（12分）已知p：x2﹣3x﹣10＜0，命题q：|x﹣m|＜1．
（1）当m＝5时，p和q都是真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
23．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
24．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R）．
（3）解关于x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4（其中a∈R）．
25．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，（e为自然对数的底数）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
26．（12分）某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016﹣2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y（万元）与年份数x的关系（为计算方便，2016年用x＝1代替，依此类推），模拟可以选用二次函数y＝ax2+bx+c或函数y＝a•bx+c（其中a，b，c为常数），若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额．
27．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%．
（1）若某业务员的业绩为100万元，经核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg2≈0.30，lg3≈0.48）
（2）若用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{x|x＜} D．A∪B＝R
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x＜}，
∴A∩B＝{x|x＜}，故A正确，B错误；
A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；
故选：A．
2．（5分）下列四个命题，真命题的是（ ）
A．∀x∈Q，x2﹣1＝0 B．∃x∈Z，5x﹣1＝0
C．∃x∈N，1＜4x＜3 D．∀x∈R，x2+x+2＞0
【分析】根据全称命题和特称命题真假关系的判断进行判断即可．
【解答】解：A．当x＝3时，x2﹣1＝0不成立，即A是假命题，
B．由5x﹣1＝0得x＝不是整数，不满足条件．故B是假命题，
C.1＜4x＜3得＜x＜，此时x∉N，故C是假命题，
D．x2+x+2＞0中判别式△＝1﹣8＝﹣7＜0，则∀x∈R，x2+x+2＞0恒成立，故D是真命题，
故选：D．
3．（5分）若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＝e0.5＞1，b＝ln2∈（0，1），c＝log20.2＜0，
∴a＞b＞c．
故选：A．
4．（5分）函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）
【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．
【解答】解：∵函数 满足 f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f（2）•f（3）＜0，
根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），
故选：B．
5．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S＝lr＝×45×＝270（平方米）．
故选：B．
6．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出cosθ 和tanθ的值，再利用诱导公式求出所给式子的值．
【解答】解：由θ角的终边经过点P（﹣，），可得x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝1，
∴cosθ＝＝﹣，tanθ＝＝﹣，∴sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝cosθ﹣cosθ﹣tanθ＝﹣tanθ＝，
故选：B．
7．（5分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）
C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）
【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．
【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，
即＝π，即ω＝2，
则f（x）＝3sin（2x+φ），
由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，
即φ＝，
则f（x）＝3sin（2x+），
故选：B．
8．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．不是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x++）＝cos（2x+）的图象，
显然，它的周期为＝π，故A正确；
当x∈，2x+∈[，]，故g（x）在区间上没有单调性，故B错误；
令x＝，求得g（x）＝0，故x＝ 不是函数g（x）图象的对称轴，故C正确；
当x∈，2x+∈[0，]，故g（x）在上的最小值为g（）＝﹣，故D正确，
故选：B．
9．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
【解答】解：，∴m2＝10，又∵m＞0，∴．
故选：A．
10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[）
【分析】利用辅助角公式化积，由x的范围得到∈[，]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+＜3π，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，
∵x∈[0，π]，∴∈[，]，
要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，
则2π≤ωπ+＜3π，
解得：≤ω＜．
∴ω的取值范围为[，）．
故选：B．
11．（5分）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【分析】＝＝，再利用基本不等式求解．
【解答】解：∵m，n为正数，且m+n＝2，∴＝＝
＝2﹣＝（当且仅当m＝n＝1时取等号）．
故选：D．
12．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可得＝（m+1+2+n）（），展开再利用均值不等式即可求解．
【解答】解：∵m，n为正数，且m+n＝2，
∴＝（m+1+2+n）（）
＝＝．
当且仅当m+1＝n+2，即n＝，m＝时，取等号，
故选：D．
13．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】作出分段函数f（x）的图象，将函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点转化为函数y＝f（x）与函数y＝m的图象有两个不同的交点，由图象分析即可得到答案．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
因为函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，
所以函数y＝f（x）与函数y＝m的图象有两个不同的交点，
由图象可得，m＝1或m≤0，
故m的值不可能是2．
故选：D．
14．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x＝0，x＝1，x＝2，根据三角函数的对称性可知y＝|cos（πx）|也关于x＝0，x＝1，x＝2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y＝|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）关于x＝1对称，
∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）根与x＝0对称，
∵f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），∴f（x）＝f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x＝0，x＝1，x＝2，
又y＝|cos（πx）|关于x＝0，x＝1，x＝2对称，
∴x＝0，x＝1，x＝2为g（x）的对称轴．
作出y＝|cos（πx）|和y＝x3在[0，1]上的函数图象如图所示：
由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．
又g（1）＝0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，
设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．
则x1，x2关于x＝0对称，x3，x5关于x＝1对称，x4＝1，x6，x7关于x＝2对称．
∴x1+x2＝0，x3+x5＝2，x6+x7＝4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共20分）
15．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，则m的值为 1 ；
【分析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再满足3m﹣4＜0即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．
又幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，
∴3m﹣4＜0，即m＜，
故m＝1．
故答案为：1．
16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为 ．
【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，
∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，
即φ＝kπ﹣，
∵﹣φ＜，
∴当k＝0时，φ＝﹣，
故答案为：﹣．
17．（5分）已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a+b＝ 0 ．
【分析】把原点坐标代入函数解析式即可得出结论．
【解答】解：函数的图象过原点，所以a•+b＝a+b＝0．
故答案为：0．
18．已知函数+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a﹣b＝ ﹣2 ．
【分析】利用指数函数的图象和性质即可解题．
【解答】解：∵函数的图象过原点，∴a+b＝0，
又无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，∴b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣2．
19．（5分）若，则＝ ﹣ ．
【分析】结合辅助角公式可求cos（），然后利用二倍角余弦公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴2cos（）＝，
∴cos（）＝，
则＝2cos2﹣1＝2×＝﹣，
故答案为：﹣．
20．已知＝﹣，则sin（2）的值是 ．
【分析】直接利用三角函数的中和角的正切的应用求出tanα的值，进一步利用万能公式的应用求出结果．
【解答】解：已知，整理得3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，
解得，
（1）当tanα＝2时，
则，＝，
故＝．
（2）当时，
则，，
＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算或化简下列各式
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用有理数指数幂的运算性质进行分析求解即可；
（2）直接利用对数的运算性质和运算法则求解即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝3（lg5+lg2）⋅lg2+3lg5﹣2
＝1．
22．（12分）已知p：x2﹣3x﹣10＜0，命题q：|x﹣m|＜1．
（1）当m＝5时，p和q都是真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出命题p和命题q为真命题时x的取值范围，然后求解即可；
（2）求出命题p和命题q的x的取值范围，然后将问题转化为q对应集合是p对应集合的真子集，利用真子集的定义列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当m＝5，命题q：|x﹣5|＜1是真命题时，解得4＜x＜6，
p：x2﹣3x﹣10＜0是真命题时，解得﹣2＜x＜5，
所以p和q都是真命题时，x的取值范围为4＜x＜5．
（2）由命题q：|x﹣m|＜1得，﹣1+m＜x＜1+m，（1+m＞﹣1+m），
由p：x2﹣3x﹣10＜0得，﹣2＜x＜5，
若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集，
所以﹣1+m≥﹣2且1+m≤5，
解得﹣1≤m≤4，
所以实数m的取值范围﹣1≤m≤4．
23．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数f（x）解析式，由三角函数的周期公式即可求得最小正周期，由正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）由三角函数的性质即可求得函数的最值．
【解答】解：（1），
所以最小正周期，
由，得，
所以单调递增区间为：．
（2）因为，所以，
又因为y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，又，此时x＝0，
综上可知：f（x）max＝2，f（x）min＝﹣1．
24．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R）．
（3）解关于x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4（其中a∈R）．
【分析】（1）利用根与系数关系可求函数f（x）的解析式；（2）分别讨论a，可得关于x的不等式af（x）＞0的解集；（3）将x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4，转换为（ax+1）（x﹣2）＞0，讨论参数a可得答案．
【解答】解：（1）因为f（x）＜0的解集为（﹣1，2），所以x2+bx+c＝0的根为﹣1，2，
所以﹣1+2＝﹣b，﹣1×2＝c，即b＝﹣1，c＝﹣2；
所以f（x）＝x2﹣x﹣2．
（2）关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R），即a（x2﹣x﹣2）＞0，
当a＝0时，x的范围是∅，
当a＞0时，x的范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
当a＜0时，x的范围是（﹣1，2）；
（3）（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4⇔ax2﹣（2a﹣1）x﹣2＞0⇔（ax+1）（x﹣2）＞0，
当a＝0时，不等式化为：x﹣2＞0，其解集为{x|x＞2}，
当a＞0时，﹣＜0，则不等式（ax+1）（x﹣2）＞0的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，
当a＜0时，﹣＞0，不等式化为，即，
若﹣＝2，即a＝﹣，则不等式化为：（x﹣2）2＜0，其解集为空集．
若﹣＜2，即a＜﹣，则不等式的解集为，
若﹣＞2，即﹣＜a＜0，则不等式的解集为，
综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝﹣时，不等式的解集为∅；
当a＜﹣时，不等式的解集为．
故答案为：（1）f（x）＝x2﹣x﹣2．
（2）当a＝0时，x的范围是∅，当a＞0时，x的范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），当a＜0时，x的范围是（﹣1，2）；
（3）当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝﹣时，不等式的解集为∅；当a＜﹣时，不等式的解集为．
25．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，（e为自然对数的底数）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）f（x）为奇函数，利用奇偶性的定义即可证明；
（2）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为，令，求出g（x）的最大值即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，
证明如下：函数f（x）＝ex﹣e﹣x的定义域为R，
且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x）．
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，
等价于
所以，所以，
令，则a≥g（x）max，
因为g（﹣x）＝g（x）且定义域为R，所以是R上的偶函数，
所以只需求g（x）在[0，+∞）上的最大值即可．
当x∈[0，+∞）时，，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
可得g（x）max＝g（0）＝0，即a≥0，
即实数a的取值范围是[0，+∞）．
26．（12分）某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016﹣2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y（万元）与年份数x的关系（为计算方便，2016年用x＝1代替，依此类推），模拟可以选用二次函数y＝ax2+bx+c或函数y＝a•bx+c（其中a，b，c为常数），若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额．
【分析】将三组数据分别代入两个还是求出a，b，c，再代入x＝1即可判断，代入x＝5即可预测．
【解答】解：若选用二次函数y＝ax2+bx+c，
则，解得a＝﹣，b＝，c＝7，
所以函数的解析式为y＝﹣，
当x＝4时，y＝﹣；
若选用y＝a•bx+c，
则，解得a＝﹣8，b＝，c＝14，
所以函数的解析式为y＝﹣8（）x+14，
当x＝4时，y＝﹣8（）4+14＝13.5，
则可以判定y＝﹣8（）x+14作为模拟函数比较好，
当x＝5时，y＝﹣8（）5+14＝13.75，
则预测2020年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元．
27．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%．
（1）若某业务员的业绩为100万元，经核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg2≈0.30，lg3≈0.48）
（2）若用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【分析】（1）利用函数模型y＝lgx+kx+1，将x＝100，y＝4代入求出k的值，然后利用函数在[60，200]上为增函数，即可求得答案；
（2）将f（x）≤0.05x对x∈[60，200]成立，参变量分离后转化为求解函数的最值问题，利用函数模型的单调性和二次函数的性质求解最值，即可得到a的取值范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）对于函数模型y＝lgx+kx+1（k为常数），
当x＝100时，y＝4，代入解得，
所以，
当x∈[60，200]时，是增函数，
当x＝200时，y＝lg200+2+1≈5.3，
∴业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励；
（2）对于函数模型．
因为a为正整数，所以函数在[60，200]递增，
故f（x）min＝f（60）≥1.5，解得a≤504；
要使f（x）≤0.05x对x∈[60，200]成立，
则有a≥﹣0.05x2+9.8x对x∈[60，200]恒成立，
因为函数y＝﹣0.05x2+9.8x在[60，200]上的最大值为480.2，
所以a≥480.2，
综上可知480.2≤a≤504，
故满足条件的最小正整数a的值为481．
2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{x|x＜} D．A∪B＝R
2．（5分）下列四个命题，真命题的是（ ）
A．∀x∈Q，x2﹣1＝0 B．∃x∈Z，5x﹣1＝0
C．∃x∈N，1＜4x＜3 D．∀x∈R，x2+x+2＞0
3．（5分）若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．（5分）函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）
5．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
6．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
7．（5分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）
C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）
8．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．不是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
9．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A． B．10 C．20 D．100
10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[）
11．（5分）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
12．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
14．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共20分）
15．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，则m的值为 ；
16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为 ．
17．（5分）已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a+b＝ ．
18．已知函数+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a﹣b＝ ．
19．（5分）若，则＝ ．
20．已知＝﹣，则sin（2）的值是 ．
三、解答题（本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算或化简下列各式
（1）；
（2）．
22．（12分）已知p：x2﹣3x﹣10＜0，命题q：|x﹣m|＜1．
（1）当m＝5时，p和q都是真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
23．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
24．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R）．
（3）解关于x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4（其中a∈R）．
25．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，（e为自然对数的底数）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
26．（12分）某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016﹣2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y（万元）与年份数x的关系（为计算方便，2016年用x＝1代替，依此类推），模拟可以选用二次函数y＝ax2+bx+c或函数y＝a•bx+c（其中a，b，c为常数），若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额．
27．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%．
（1）若某业务员的业绩为100万元，经核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg2≈0.30，lg3≈0.48）
（2）若用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{x|x＜} D．A∪B＝R
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x＜}，
∴A∩B＝{x|x＜}，故A正确，B错误；
A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；
故选：A．
2．（5分）下列四个命题，真命题的是（ ）
A．∀x∈Q，x2﹣1＝0 B．∃x∈Z，5x﹣1＝0
C．∃x∈N，1＜4x＜3 D．∀x∈R，x2+x+2＞0
【分析】根据全称命题和特称命题真假关系的判断进行判断即可．
【解答】解：A．当x＝3时，x2﹣1＝0不成立，即A是假命题，
B．由5x﹣1＝0得x＝不是整数，不满足条件．故B是假命题，
C.1＜4x＜3得＜x＜，此时x∉N，故C是假命题，
D．x2+x+2＞0中判别式△＝1﹣8＝﹣7＜0，则∀x∈R，x2+x+2＞0恒成立，故D是真命题，
故选：D．
3．（5分）若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＝e0.5＞1，b＝ln2∈（0，1），c＝log20.2＜0，
∴a＞b＞c．
故选：A．
4．（5分）函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）
【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．
【解答】解：∵函数 满足 f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f（2）•f（3）＜0，
根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），
故选：B．
5．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S＝lr＝×45×＝270（平方米）．
故选：B．
6．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出cosθ 和tanθ的值，再利用诱导公式求出所给式子的值．
【解答】解：由θ角的终边经过点P（﹣，），可得x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝1，
∴cosθ＝＝﹣，tanθ＝＝﹣，∴sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）＝cosθ﹣cosθ﹣tanθ＝﹣tanθ＝，
故选：B．
7．（5分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）
C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）
【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．
【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，
即＝π，即ω＝2，
则f（x）＝3sin（2x+φ），
由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，
即φ＝，
则f（x）＝3sin（2x+），
故选：B．
8．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．不是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x++）＝cos（2x+）的图象，
显然，它的周期为＝π，故A正确；
当x∈，2x+∈[，]，故g（x）在区间上没有单调性，故B错误；
令x＝，求得g（x）＝0，故x＝ 不是函数g（x）图象的对称轴，故C正确；
当x∈，2x+∈[0，]，故g（x）在上的最小值为g（）＝﹣，故D正确，
故选：B．
9．（5分）设2a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
【解答】解：，∴m2＝10，又∵m＞0，∴．
故选：A．
10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[）
【分析】利用辅助角公式化积，由x的范围得到∈[，]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+＜3π，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，
∵x∈[0，π]，∴∈[，]，
要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，
则2π≤ωπ+＜3π，
解得：≤ω＜．
∴ω的取值范围为[，）．
故选：B．
11．（5分）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【分析】＝＝，再利用基本不等式求解．
【解答】解：∵m，n为正数，且m+n＝2，∴＝＝
＝2﹣＝（当且仅当m＝n＝1时取等号）．
故选：D．
12．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可得＝（m+1+2+n）（），展开再利用均值不等式即可求解．
【解答】解：∵m，n为正数，且m+n＝2，
∴＝（m+1+2+n）（）
＝＝．
当且仅当m+1＝n+2，即n＝，m＝时，取等号，
故选：D．
13．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】作出分段函数f（x）的图象，将函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点转化为函数y＝f（x）与函数y＝m的图象有两个不同的交点，由图象分析即可得到答案．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
因为函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，
所以函数y＝f（x）与函数y＝m的图象有两个不同的交点，
由图象可得，m＝1或m≤0，
故m的值不可能是2．
故选：D．
14．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x＝0，x＝1，x＝2，根据三角函数的对称性可知y＝|cos（πx）|也关于x＝0，x＝1，x＝2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y＝|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）关于x＝1对称，
∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）根与x＝0对称，
∵f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），∴f（x）＝f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x＝0，x＝1，x＝2，
又y＝|cos（πx）|关于x＝0，x＝1，x＝2对称，
∴x＝0，x＝1，x＝2为g（x）的对称轴．
作出y＝|cos（πx）|和y＝x3在[0，1]上的函数图象如图所示：
由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．
又g（1）＝0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，
设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．
则x1，x2关于x＝0对称，x3，x5关于x＝1对称，x4＝1，x6，x7关于x＝2对称．
∴x1+x2＝0，x3+x5＝2，x6+x7＝4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共20分）
15．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，则m的值为 1 ；
【分析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再满足3m﹣4＜0即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．
又幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，
∴3m﹣4＜0，即m＜，
故m＝1．
故答案为：1．
16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ的值为 ．
【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵y＝sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，
∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，
即φ＝kπ﹣，
∵﹣φ＜，
∴当k＝0时，φ＝﹣，
故答案为：﹣．
17．（5分）已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a+b＝ 0 ．
【分析】把原点坐标代入函数解析式即可得出结论．
【解答】解：函数的图象过原点，所以a•+b＝a+b＝0．
故答案为：0．
18．已知函数+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则a﹣b＝ ﹣2 ．
【分析】利用指数函数的图象和性质即可解题．
【解答】解：∵函数的图象过原点，∴a+b＝0，
又无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，∴b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣2．
19．（5分）若，则＝ ﹣ ．
【分析】结合辅助角公式可求cos（），然后利用二倍角余弦公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴2cos（）＝，
∴cos（）＝，
则＝2cos2﹣1＝2×＝﹣，
故答案为：﹣．
20．已知＝﹣，则sin（2）的值是 ．
【分析】直接利用三角函数的中和角的正切的应用求出tanα的值，进一步利用万能公式的应用求出结果．
【解答】解：已知，整理得3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，
解得，
（1）当tanα＝2时，
则，＝，
故＝．
（2）当时，
则，，
＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算或化简下列各式
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用有理数指数幂的运算性质进行分析求解即可；
（2）直接利用对数的运算性质和运算法则求解即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝3（lg5+lg2）⋅lg2+3lg5﹣2
＝1．
22．（12分）已知p：x2﹣3x﹣10＜0，命题q：|x﹣m|＜1．
（1）当m＝5时，p和q都是真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出命题p和命题q为真命题时x的取值范围，然后求解即可；
（2）求出命题p和命题q的x的取值范围，然后将问题转化为q对应集合是p对应集合的真子集，利用真子集的定义列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当m＝5，命题q：|x﹣5|＜1是真命题时，解得4＜x＜6，
p：x2﹣3x﹣10＜0是真命题时，解得﹣2＜x＜5，
所以p和q都是真命题时，x的取值范围为4＜x＜5．
（2）由命题q：|x﹣m|＜1得，﹣1+m＜x＜1+m，（1+m＞﹣1+m），
由p：x2﹣3x﹣10＜0得，﹣2＜x＜5，
若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集，
所以﹣1+m≥﹣2且1+m≤5，
解得﹣1≤m≤4，
所以实数m的取值范围﹣1≤m≤4．
23．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数f（x）解析式，由三角函数的周期公式即可求得最小正周期，由正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）由三角函数的性质即可求得函数的最值．
【解答】解：（1），
所以最小正周期，
由，得，
所以单调递增区间为：．
（2）因为，所以，
又因为y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，又，此时x＝0，
综上可知：f（x）max＝2，f（x）min＝﹣1．
24．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R）．
（3）解关于x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4（其中a∈R）．
【分析】（1）利用根与系数关系可求函数f（x）的解析式；（2）分别讨论a，可得关于x的不等式af（x）＞0的解集；（3）将x的不等式（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4，转换为（ax+1）（x﹣2）＞0，讨论参数a可得答案．
【解答】解：（1）因为f（x）＜0的解集为（﹣1，2），所以x2+bx+c＝0的根为﹣1，2，
所以﹣1+2＝﹣b，﹣1×2＝c，即b＝﹣1，c＝﹣2；
所以f（x）＝x2﹣x﹣2．
（2）关于x的不等式af（x）＞0（其中a∈R），即a（x2﹣x﹣2）＞0，
当a＝0时，x的范围是∅，
当a＞0时，x的范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
当a＜0时，x的范围是（﹣1，2）；
（3）（a+1）x2﹣2ax＞f（x）+4⇔ax2﹣（2a﹣1）x﹣2＞0⇔（ax+1）（x﹣2）＞0，
当a＝0时，不等式化为：x﹣2＞0，其解集为{x|x＞2}，
当a＞0时，﹣＜0，则不等式（ax+1）（x﹣2）＞0的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，
当a＜0时，﹣＞0，不等式化为，即，
若﹣＝2，即a＝﹣，则不等式化为：（x﹣2）2＜0，其解集为空集．
若﹣＜2，即a＜﹣，则不等式的解集为，
若﹣＞2，即﹣＜a＜0，则不等式的解集为，
综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝﹣时，不等式的解集为∅；
当a＜﹣时，不等式的解集为．
故答案为：（1）f（x）＝x2﹣x﹣2．
（2）当a＝0时，x的范围是∅，当a＞0时，x的范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），当a＜0时，x的范围是（﹣1，2）；
（3）当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣}，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝﹣时，不等式的解集为∅；当a＜﹣时，不等式的解集为．
25．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，（e为自然对数的底数）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）f（x）为奇函数，利用奇偶性的定义即可证明；
（2）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为，令，求出g（x）的最大值即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，
证明如下：函数f（x）＝ex﹣e﹣x的定义域为R，
且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x）．
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，
等价于
所以，所以，
令，则a≥g（x）max，
因为g（﹣x）＝g（x）且定义域为R，所以是R上的偶函数，
所以只需求g（x）在[0，+∞）上的最大值即可．
当x∈[0，+∞）时，，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
可得g（x）max＝g（0）＝0，即a≥0，
即实数a的取值范围是[0，+∞）．
26．（12分）某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016﹣2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额y（万元）与年份数x的关系（为计算方便，2016年用x＝1代替，依此类推），模拟可以选用二次函数y＝ax2+bx+c或函数y＝a•bx+c（其中a，b，c为常数），若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额．
【分析】将三组数据分别代入两个还是求出a，b，c，再代入x＝1即可判断，代入x＝5即可预测．
【解答】解：若选用二次函数y＝ax2+bx+c，
则，解得a＝﹣，b＝，c＝7，
所以函数的解析式为y＝﹣，
当x＝4时，y＝﹣；
若选用y＝a•bx+c，
则，解得a＝﹣8，b＝，c＝14，
所以函数的解析式为y＝﹣8（）x+14，
当x＝4时，y＝﹣8（）4+14＝13.5，
则可以判定y＝﹣8（）x+14作为模拟函数比较好，
当x＝5时，y＝﹣8（）5+14＝13.75，
则预测2020年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元．
27．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%．
（1）若某业务员的业绩为100万元，经核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg2≈0.30，lg3≈0.48）
（2）若用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【分析】（1）利用函数模型y＝lgx+kx+1，将x＝100，y＝4代入求出k的值，然后利用函数在[60，200]上为增函数，即可求得答案；
（2）将f（x）≤0.05x对x∈[60，200]成立，参变量分离后转化为求解函数的最值问题，利用函数模型的单调性和二次函数的性质求解最值，即可得到a的取值范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）对于函数模型y＝lgx+kx+1（k为常数），
当x＝100时，y＝4，代入解得，
所以，
当x∈[60，200]时，是增函数，
当x＝200时，y＝lg200+2+1≈5.3，
∴业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励；
（2）对于函数模型．
因为a为正整数，所以函数在[60，200]递增，
故f（x）min＝f（60）≥1.5，解得a≤504；
要使f（x）≤0.05x对x∈[60，200]成立，
则有a≥﹣0.05x2+9.8x对x∈[60，200]恒成立，
因为函数y＝﹣0.05x2+9.8x在[60，200]上的最大值为480.2，
所以a≥480.2，
综上可知480.2≤a≤504，
故满足条件的最小正整数a的值为481．
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