2021-2022学年安徽省池州市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省池州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知的解集为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

4. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则(    )

A.  B.
C.  D.

5. 一个电路如图所示，，，为个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，则估计该田径队运动员的平均身高为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在正方体中，棱长为，为的中点，点在平面内运动，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数的定义域是，为偶函数，，成立，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 若复数满足：，则(    )

A. 的实部为 B. 的虚部为
C.  D. 在复平面上的点位于第一象限

10. 冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，自年起，每四年举办一届，第届由中国年月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区，共个比赛项目．为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则(    )

A. 甲社团众数小于乙社团众数
B. 甲社团的平均数小于乙社团的平均数
C. 甲社团的第百分位数等于乙社团的第百分位数
D. 甲社团的方差大于乙社团的方差

11. 如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则下列结论正确的是(    )

A.
B. A、之间的距离为海里
C. A、两处岛屿间的距离为海里
D. B、之间的距离为海里

12. 棱长为的菱形中，，和相交于点，将沿折起，使点到达的位置，连接，得到四面体，则(    )

A. 四面体中的取值范围为
B.
C. 四面体的体积最大值为
D. 直线与平面所成角的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，则函数的最大值为______．
14. 从，，，这个数中随机取出个不同的数为，，则的概率为______．
15. 已知，，，的夹角为，则的边上中线的长为______．
16. 在直三棱柱中，，，若三棱柱的外接球的半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在复平面内，向量对应的复数，向量对应的复数，，．
    求向量对应的复数；
    若点，，则三角形的面积为计算三角形的面积．
18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，设平面与平面的公共直线为．
    写出图中与平行的直线，并证明；
    求证：平面平面．

19. 已知，为一组单位基向量，且向量，．
    若，其中，是方向分别与，轴正方向相同的单位向量，，求的值；
    若其中的为无理数，，，求的值．
20. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
    求；
    若，，在角的平分线上取点，且，判断点是否在线段上？请说明理由．
21. 年元旦甲、乙二人共同投资注册了一家公司．公司经过一年的运营走入正轨，但公司没有盈利也没有亏损．根据大数据，走入正轨后的同类公司共有家，其中有家盈利率为，家盈利率为，家盈利率为，家盈利率为以下用频率代替概率．
    若事件发生的概率不超过，则事件称为小概率事件，在现实中小概率事件可以看作是几乎不可能发生的事件．请预测甲、乙二人的这家公司全年不亏损的概率，并对亏损情况作出统计推断；
    设甲、乙二人的这家公司全年的盈利率为，请你预测的平均值及方差；
    已知盈利率分别为，，，的公司可以依次评定为，，，四个等级，某人从以上，，，四个等级的公司中抽取等级不同的两家，且抽取到的两家互不影响，求这两家公司的盈利率之和不为负的概率．
    提示：．
22. 在正六棱柱中，各棱长都为，为的中点．
    求与侧面所成角的正切值；
    求平面与平面所成的锐二面角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：的解集为，
为的根，所以．
故选：．
依题意可得为方程的根，代入计算可得．
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
即，
则或，
当时，；
当时，显然，此时．
综上或．
故选：．
根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系进行转化求解即可
本题主要考查三角函数值的计算，利用二倍角公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由投影向量的定义知，



；
故选：．
利用投影向量的定义及坐标运算化简即可．
本题考查了投影向量的定义及坐标运算的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为开关闭合概率为，
B、至少有一个闭合概率为，
所以灯亮的概率是．
故选：．
根据题意可知当开关闭合，、至少有一个闭合时灯亮，然后利用独立事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，田径队男、女队员的比例为：：，
用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为的样本，
设男运动员名，女运动员名，则，解得，
即男运动员名，女运动员名，
故该田径队运动员的平均身高大约为．
故选：．
根据分层抽样的性质可得男运动员名，女运动员名，再计算平均值即可．
本题考查分层抽样、平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在正方体中，棱长为，为的中点，点在平面内运动，
取的中点，连接，

因为为的中点，所以点，也关于平面对称，
所以的最小值为．
故选：．
利用点面对称关系，找到点关于平面的对称点为，则，再根据两点之间线段最短，可得答案．
本题考查了几何体中的最短距离问题，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，所以，则，
所以，则，
所以，所以是周期为的函数，
因为，
所以．
故选：．
通过已知可判断是周期为的函数，利用周期性即可求出．
本题考查了函数的奇偶性及基础周期性，难点在于推导函数的周期为，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对，因为，所以，，所以的实部为，虚部为，所以，B正确；
对，，所以不正确；
对，在复平面上的点位于第一象限，所以D正确．
故选：．
根据复数的运算，结合复数的定义与几何意义等逐个判断即可．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，甲社团众数为，乙社团众数为，所以A正确；
选项，甲的平均数为，
乙的平均数为，所以平均数相等，所以B错误；
选项，甲社团数据从小到大排列为、、、、、、，其中，
所以甲社团的第百分位数为，同理可得乙社团的第百分位数为，所以C正确；
选项，甲社团的方差为，
乙社团的方差为，
故甲社团的方差大于乙社团的方差，D正确．
故选：．
根据众数、平均数、方差、百分位数的定义计算可得．
本题考查众数、平均数、百分位数、方差、折线图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，，，
所以，，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，，
海里．
故选：．
由题意可得，，由正弦定理得，可求，进而可求，由余弦定理可求，可得结论．
本题考查正余弦定在解三角形中的应用，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：
对，在菱形中，因为棱长为，所以，
所以四面体中的取值范围为，所以A正确；
对，因为在菱形中，，且在翻折过程中始终有，，所以平面，
又因为平面，所以，所以B正确；
对，因为四面体的体积，因为为定值，所以当取最大值时，最大，此时平面平面，
所以，所以C错误；
对，又因为直线与平面所成角的最大值时，必须到平面的距离最大，
此时平面平面，此时为等边三角形，
故为直线与平面所成角，即，所以D错误．
故选：．
对，根据结合翻折的性质判断即可；
对，根据线面垂直的判定可得平面，进而得到即可；
对，分析可得平面平面时满足条件，再根据线面性质分别求解判断即可．
本题主要考查了三棱锥的体积问题以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，即最大值为．
故答案为：．
由基本不等式即可求出答案．
本题考查基本不等式的应用，也可以利用函数的导数求解函数的最值，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：取出的组数分别为，，，，，，其中有，，满足，
所以的概率为．
故答案为：．
求出取出两个数的所有情况，得出其中满足条件的情况，即可求出概率．
本题考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，的夹角为，
设为的中点，则，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
设为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可．
本题考查向量的数量积，向量的模的求法，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设直三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心分别为，，外接球球心为，则为中点，

根据已知条件可知，
设上下底面三角形外接圆半径为，
设，则，
在中，由正弦定理得，
，
在中由勾股定理得，，即，
则，
由圆的知识得，当且仅当时，的面积取得最大值为，
所以三棱锥的体积最大值为．
故答案为：．
设直三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心分别为，，外接球球心为，则为中点，上下底面三角形外接圆半径为，设，则在中，由正弦定理可得，在中由勾股定理可求出，从而可求出三棱锥的体积最大值．
本题考查了几何体的外接球以及三棱锥体积的最值问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意，，即，
则，
又，
因为，
所以向量对应的复数为：．
依题意，，，则的面积，
由知，对应的复数为，即有，对应的复数为，即有，
所以的面积为． 

【解析】利用共轭复数的意义及复数除法运算分别求出，，再借助复数与向量的关系求解作答．
由求出，的坐标，再利用已知公式计算作答．
本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：图中与平行的直线为和，证明如下：
底面为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面与平面的交线，平面，
，进一步可得；
证明：平面，平面，，
，，平面，
平面，平面平面． 

【解析】直接由直线与平面平行的判定与性质证明，；
由直线与平面垂直的判定证明平面，进一步得到平面平面．
本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意得，，，
，
，
；
，
，
即，
，
，
又，
，
，
解得．
故，
故． 

【解析】由题意得，，，由得，从而解得；
由题意得，化简得，再次化简得，从而解得．
本题考查了平面向量坐标运算的应用及数量积的化简与应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
正弦定理可得
又因为，所以，
所以可得，
即，
在三角形中，
所以，
即，
而，
所以，
可得；
点不在线段上．理由如下：
理由一：设为角平分线，在上，
面积等量，
可得，
所以不在上．
理由二：由及，及余弦定理可得，，
所以，
设边上的高为，所以，
即，
所以，
假设在上，即为边上的角平分线，则，
因为，即，这与矛盾，
所以点不在线段上． 

【解析】解三角形基本思想，边化角，利用正弦定理，将中的边化为对角的正弦，根据三角函数恒等式，进行整理化简，可得最后答案；
理由一：利用等面积法，计算出中角的角平分线的真实长度，与，进行比较，可得答案；
理由二：利用中角的余弦定理，计算出边的长，在根据等面积法，可计算出边的高，与，进行比较，可得答案．
本题考查正弦定理的应用及等面积法求线段的值的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由大数据及已知条件，预测这家公司全年不亏损的概率为，
所以亏损的概率为属于小概率事件，说明这家公司全年出现亏损几乎是不可能的；
可以预测：的平均值为，
再代入所给数据可得的方差；
设抽取到，，，这四个等级分别记为事件，，，，
由于抽取到的两家互不影响，所以，，，两两独立，
由已知得，，，，，
设抽取到的两家公司盈利率之和不为负为事件，
则，
所以． 

【解析】根据大数据与已知条件分析即可；
根据平均值与方差的公式求解即可；
分析抽取到的两家公司盈利率之和不为负的所有事件，再根据互斥事件、独立事件概率公式求解即可．
本题考查了数字特征在实际问题中的应用以及相互独立事件的概率计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：过作于，连接，
在正六棱柱中，因为平面，
所以，又因为，
所以侧面，
所以为与侧面所成的角，
因为侧面侧面，
所以也为与侧面所成的角，
经过计算得，，，
进一步得，，
所以；
延长交的延长线于点，连接，
过作，过作于，连接，
则平面，
进一步得，，
所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角，
经过计算得，，，
所以． 

【解析】过作于，连接，则侧面，所以为与侧面所成的角，再结合已知条件求解即可．
延长交的延长线于点，连接，过作，过作于，连接，则平面，所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角，进而求出结果即可．
本题主要考查了直面角的求解，考查了二面角的求解，属于中档题．