数学必修 第二册4.1 平面向量基本定理课后复习题

【优编】4.1 平面向量基本定理-1课时练习

一．填空题

1．已知向量，，且，则x=_______.

2．已知平行四边形中，为中点，点为线段上的一点，且，则________，________.

3．已知，则反向的单位向量是______．

4．已知向量，，，则______.

5．设向量＝(1，－1)，－2＝(k－1，2k＋2)，且⊥，则k＝_______．

6．已知平面向量，则向量______．

7．已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若，，，，则__________.

8．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于，.若，，，则的最小值为______.

9．已知，直线上一点P满足，则点P的坐标为______.

10．设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.

11．已知为的外心，.若，则＝____________.

12．已知向量，，若，则k的值为___________.

13．已知三点共线，则，则______，______．

14．若，A点的坐标为，则B点的坐标为__________.

15．已知向量=(1，1)，=(，2)，若，则实数t =_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】.

【解析】由向量平行的坐标表示，计算即得解.

详解：由于向量，，且,

由向量平行的坐标表示，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

2．【答案】     

【解析】设出，利用基底表示出向量，然后可得的值，利用可得与平行四边形的高之间的关系，结合面积公式可求结果.

详解：设，，

在平行四边形中，为中点，所以,

所以，由于，所以，

解得.

设平行四边形的高为，的高为，

因为，所以；

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算，选用基底，结合向量的运算规则，表示出目标向量是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.

3．【答案】

【解析】求得，所以，进而求得与反向的单位向量，得到答案.

详解：由，则，所以，

则反向的单位向量.

可得

【点睛】

本题主要考查了与向量反向的单位向量的求解，其中解答中熟记共线的单位向量的解法是解答的关键，着重考查运算能力.

4．【答案】2或

【解析】由向量的坐标求出的坐标,借助于向量共线的坐标公式求出x的值即可.

详解：因为向量，，

，

所以，

，或.

故答案为: 或.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算,熟记向量共线的公式是解题的关键,属于基础题.

5．【答案】

【解析】先求出向量，再根据由a⊥b，即，求出的值.

详解：＝(1，－1)，－2＝(k－1，2k＋2)，则，

解得，由⊥得，

所以得，所以得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，平面向量垂直的坐标表示，属于容易题.

6．【答案】

【解析】直接根据平面向量的坐标运算计算可得；

详解：解：因为

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算的坐标表示，属于基础题.

7．【答案】

【解析】由题中条件知，为的垂心，为的外心，建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，以为轴，为轴，设，，，则，再求出的坐标，代入向量式运算求得结果.

详解：由题中条件知，,为的外心，

由，

，即，同理可证，

为的垂心，以为轴，为轴，

设，，，则，如图所示：

则由题，得，

由为垂心，则，

得，得.

由是外心，的三条中垂线的交点，则可设，

设的中点为，则，又由，

则，

得，即，即到的距离为1，

由题且在上，故为的中点，

由题，故，

则

.

【点睛】

本题考查了三角形垂心，外心的向量表达式，建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，建系后确定外心的坐标是解决本题的关键，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.

8．【答案】4

【解析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解.

详解：如图所示，在中，，

点满足，所以，即，

可得，

因为，，

所以，

因为三点共线，所以，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

9．【答案】或

【解析】根据条件得或，再根据向量相等求结果.

详解：因为直线上一点P满足，所以或，

设，则由得，

由得，

因此点P的坐标为或

故答案为：或

【点睛】

本题考查向量相等．向量共线，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．【答案】

【解析】直接根据定义的新运算法则计算得到答案.

详解：设，则，即，解得，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量运算的新定义，意在考查学生的计算能力和理解应用能力.

11．【答案】

【解析】首先根据题意建立坐标系，利用外心的性质得到的坐标，再利用向量的坐标运算即可得到答案.

详解：以为原点，为轴，垂直的直线轴建立坐标系，如图所示：

，设.

因为，，

解得，.

因为，所以.

即，解得.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，根据题意建立坐标系为解题的关键，属于中档题.

12．【答案】

【解析】根据向量的坐标运算，求得，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.

详解：由题意，向量，，则，

因为，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

13．【答案】3     

【解析】根据，结合平面向量的坐标运算，得到方程组，即可求解.

详解：由，可得，

因为，即，

可得，解得.

故答案为：，.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量的共线坐标表示及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标，从而求得结果.

详解：设点的坐标为，则，

，，解得，点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题目．

15．【答案】

【解析】先根据向量的坐标运算法则，计算出和，然后根据向量平行的坐标公式列式计算出.

详解：=(1，1)，=(，2)，

，，

又，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量线性运算的坐标表示，考查了向量平行的应用，属于基础题.