高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理当堂达标检测题

【优编】6.1 余弦定理与正弦定理-1优选练习

一．填空题

1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m＝________.

2．,为平面向量,已知=(4,3)，2+=(3,18),则,夹角的余弦值等于            ．

3．在直角中，，， ，为斜边的中点，则 =____________.

4．已知向量，，且与的夹角为，若，则实数的取值范围是　　　　　　．

5．在平行四边形中,若,,则___________,___________.

6．图，三条平行直线把平面分成I．II．III．IV四个区域（不含边界），且直线到的距离相等。点O在直线上，点A．B在直线上，P为平面区域内一点，且，给出下列四个命题：

（1）若则点P位于区域I；   （2）若点P位于区域II，则

（3）若点P位于区域III，则  （4）若点P位于区域IV，则

则所有正确命题的序号为__________．

7．在三棱锥中,两两垂直,且,,,则点到的重心的距离为           ．

8．如上图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，Y轴正半轴上移动，则的概率为          ．

9．已知中，边上的中线长为2，若动点满足，则的最小值是__________.

10．已知点是的中位线EF上任意一点，且，实数满足的面积分别为，记，则取最大值时，的值为__________．

11．在中，D在BC边上，,, ,则   ．

12．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．

13．在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，则点集所表示的区域的面积是     .

14．已知平面向量的集合到的映射为，其中为常向量，若映射满足对任意恒成立，则用坐标可能是

   A.    B.     C.     D.

15．如图，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当正绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是             。     

参考答案与试题解析

1．【答案】－1或2

【解析】∵l的方向向量为(－2，m)，

∴－2×1－m(1－m)＝0，∴m＝－1或2.

2．【答案】

【解析】因为=(4,3)，2+=(3,18),所以=（），

==，

3．【答案】-1

【解析】

4．【答案】

【解析】

5．【答案】；

【解析】

6．【答案】（1）（3）（4）

【解析】

7．【答案】

【解析】以PA．PB．PC为过同一顶点的三条棱，构造长方体，以CP为x轴，以CD为y轴，以CG为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．根据题意，

解：以PA．PB．PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，以CP为x轴，以CD为y轴，以CG为z轴，建立空间直角坐标系，∵PA=1，PB=2，PC=3，∴P（3，0，0），A（3，0，1），B（2，3，0），C（0，0，0），根据平面的法向量来得到点P到平平面的距离，然后根据重心的位置，结合勾股定理来得到点到的重心的距离为。故答案为

8．【答案】

【解析】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A．D分别在x轴．y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可。解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BA x=

-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（-θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ），同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）？（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，

=1+sin2θ 的最大值是2，故的概率为

9．【答案】-2

【解析】

10．【答案】

【解析】

11．【答案】

【解析】

12．【答案】y2＝8x

【解析】＝(2，－)，＝(x，)．

∵⊥，∴A·＝2x－y2＝0，即y2＝8x.

13．【答案】

【解析】如图所示，由可知,当时，；当时，,所以；考虑到可取正负，所以点所表示的区域的面积，故.

14．【答案】

【解析】

15．【答案】 　

【解析】根据题意，由于圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，AB=,那么对于,可知使得向量的数量积达到最大值时的为