数学必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理复习练习题

【精编】6.1 余弦定理与正弦定理-2课堂练习

一．填空题

1．

在直角三角形中， ， ， ，若点满

足，则______．

2．如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且.要提起这块钢板，均要大于，则的最小值为          ．

3．O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）

①动点P满足，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

③动点P满足，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

④动点P满足，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．

⑤动点P满足，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是           ；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于           ．

5．已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为         ．

6．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是________．

7．

已知梯形中， 是边上一点，且.当在边上运动时， 的最大值是________________．

8．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|等于________．

9．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．

10．一条河宽为400 m，一船从A出发航行，垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.

11．已知点A(－1,2)，B(0，－2)，若点D在线段AB上，且2||＝3||，则点D的坐标为________．

12．已知△ABD是等边三角形，且＋＝，||＝，那么四边形ABCD的面积为________．

13．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于________．

14．

已知单向量位的夹角为，且，若向量 ，则__________.

15．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的最大值是         ．

参考答案与试题解析

1．【答案】10

【解析】试题分析：因为， ， ，所以以可以为原点，以所在直线为轴．轴建立直角坐标系，则，设，由得，可得 ，故答案为.

考点：1．共线向量的性质；2．向量的坐标表示及几何意义.

【方法点睛】本题主要考查共线向量的性质．向量的坐标表示及几何意义，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答(这种方法将几何问题转化为代数问题你，更加直观)．本题就是根据三角形特点，建立直角坐标系后进行解答的.

2．【答案】

【解析】由已知可得三个力的合力的大小为

.

考点：向量及其几何运算.

【方法点晴】本题考查向量及其几何运算，涉及分函数与不等式思想．数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力．逻辑思维能力．等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得三个力的合力的大小为，解之得，从而可得.数形结合思想和空间想象能力是解决本题的关键.

3．【答案】②③④⑤

【解析】①当动点P满足,则点P是的重心，所以①不正确；②在的角平分线上，所以与的平分线所在向量共线，所以的内心一定在满足条件的P点集合中，因此正确；③变形为,而,表示点A到BC边的距离，设为AD,所以,而表示BC边的中线向量，所以表示与BC边的中线向量，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中③正确；④变形为，,因此△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，所以④正确；⑤变形为,取BC边的中点D,,表示,根据④的结论可知，即,,则点P在BC垂直平分线上，△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中，所以⑤正确．

考点：向量与平面几何

4．【答案】，

【解析】试题分析：（1）由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；

（2）设点E在平面BB1D1D的射影为O，则EO=AC=，令ME=1，则△EMO是直角三角形，所以点M在平面BB1D1D上的轨迹为圆，有勾股定理求得OM=，即点M的轨迹半径为，代入圆面积公式即可求得面积．

试题解析：解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，

则AC⊥BD，

∵BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AC，

∴AC⊥平面BB1D1D，

∴AC⊥MN，

∴△AMN≌△CMN，

∴MA=MC，

连接EC，

∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．

在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．

过E作平面BB1D1D的垂线，垂足为O，则EO=AN=AC=，

令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，

∴OM==，

∴S=π？（）2=．

故答案为，

考点：向量在几何中的应用．

点评：本题考查了空间几何中的最值问题，找到MA与MC的相等关系是本题的关键．

5．【答案】

【解析】连接，延长到使，延长到使，由题意，得．连接，则四边形是平行四边形，因为，，所以，，所以．

考点：1．平面向量的应用；2．平面向量的加减运算．

6．【答案】

【解析】a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.

7．【答案】

【解析】设，则

，故．

8．【答案】5

【解析】F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.

9．【答案】3

【解析】＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，

∴·＝x＋y，·＝y，

即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识知，当x＝0，y＝1时，zmax＝3．

10．【答案】1.5

【解析】船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图．

|2|＝12 km/h.

根据勾股定理|1＝(4，－3)，l2上任取两点得向量1与v2的夹角为θ.

则|cos θ|＝＝＝.

∴两直线夹角为45°.

11．【答案】

【解析】由题意得＝＋＝＋＝(－1,2)＋ (1，－4)＝，所以D.

12．【答案】

【解析】如图所示，＝－＝－，∴＝2，

即3＝ ＋－·，

∵||＝||，

∴||2－||||cos 60°＝3，∴||＝2．

又＝－＝A，∴||＝||＝1，

∴||2＋||2＝||2，∴BC⊥CD.

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin 60°＋×1×＝ .

13．【答案】1

【解析】由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.

所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，

而x∈(0，π)，

所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1．

14．【答案】

【解析】

试题分析:因.故,应填答案.

考点：向量的模及向量的数量积公式的综合运用．

【易错点晴】向量的概念及运算是高中数学中的重要内容之一,也是高考常考重要知识和考点之一.本题以单位向量夹角的余弦值为背景考查的是等价转化的数学思想等有关知识和运算求解能力.解答时充分依据题设条件，将两边平方,将问题等价转化为求向量,进而运用向量的代数形式的乘法进行运算,求得，然后求得使得问题获解.

15．【答案】

【解析】因为平面向量和的的长度都为，且夹角为，所以,由可得，所以，解得，所以的最大值是.

考点：向量在平面几何中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了向量在平面几何中的应用，考查了利用重要不等式求最值问题，属于中档题.本题解答的关键是把两边平方，利用平面向量数量积的性质得到，根据基本不等式把上式转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式即可求得其最大值.