高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 向量的基本关系课后作业题

【优编】1.2 向量的基本关系随堂练习

一．填空题

1．如图所示，E．F分别为△ABC边AB．AC的中点，则与向量E共线的向量有________

(将图中符合条件的向量全写出来)．

2．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．

3．在中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为        ．

4．给出下列六个命题：

①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若＝，则ABCD是平行四边形，其中正确的命题是________．

5．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．

6．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，则向量的模等于________．

7．
如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.

（1）若为中点, ______（用,表示）

（2）已知下列四个向量:

①;        ②;

③;        ④.

对于点,,,,落在阴影区域内（不含边界）的点有_____（把所有符合条件点都填

上）

8．把平面上一切单位向量归结到共同的始点O，那么这些向量的终点所组成的图形是________．

9．如图，平行四边形ABCD中，E．F分别是AD．BC的中点，则以A．B．C．D．E．F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是________．

10．给出下列四个命题：

①若，则；   　　　　②向量不可以比较大小；

③若， ，则； 　④， ．

其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号）

11．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，

C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于D，

这时|C|＝________.

12．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是________．

13．
已知，，且，则________.

14．已知a与－b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则实数λ的值为________．

15．
已知向量，若（为实数），则_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】F，B，C

【解析】∵E．F分别为△ABC对应边的中点，∴EF∥BC，

∴符合条件的向量为F，B，C.

2．【答案】零向量

【解析】由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．

3．【答案】

【解析】

4．【答案】④

【解析】|a|＝0，则a＝0，故①错；②中|a|＝|b|，则a与b的方向不确定；③错，两向量a∥b，则两向量的方向相同或相反，④正确；⑤中若b＝0，则不成立；⑥若A．B．C．D共线，则不成立．

5．【答案】①③④

【解析】因为a＝b？a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.

6．【答案】6

【解析】在平行四边形ABCD和ABDE中，

∵＝，＝，∴＝，∴E，D，C三点共线，

||＝||＋||＝2||＝6.

7．【答案】   

【解析】若为中点,则由向量的加法法则可得 ；

设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为 ，
则存在实数，使得

且存在实数，使得 从而

且 又由于 ，故 对于①中 ，解得 满足也满足，故①满足条件．
对于② 解得 ，满足也满足故②满足条件，
对于③ 解得，不满足，故③不满足条件，
对于④

解得 ，不满足，故④不满足条件，
故答案为(1).     (2).

8．【答案】以O为圆心的单位圆

【解析】如图，单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O，则其终点构成一个单位圆．

9．【答案】，，

【解析】由平行四边形性质可知，AB綊EF綊DC，

故与EF―→方向相反的向量是，，.

10．【答案】②③

【解析】①，但方向不定，故不能推出，故错误；

②因为向量既具有大小又有方向，方向不能比较大小，故向量不能比较大小，故正确；

③由向量相等的定义可得若， ，则，故正确；

④ 由向量相等的定义可得 ， ，反过来 ， ， 与共线，方向可以不同，故错误. ②③.

11．【答案】

【解析】如右图，因为圆O的周长是2π，所以直径AB＝2.又因为C是圆周上的一点，所以△ACB是直角三角形，∠ACB＝.

再由∠BAC＝，

得BC＝AB＝×2＝1.

所以CD＝BCsin＝1×＝.

12．【答案】与，与

【解析】由正方形的性质可知，与，与的模分别相等．

13．【答案】

【解析】.

点睛：平面向量的模长往往是转化为平方运算，结果再开方即为模长，平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式．模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题．线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.

14．【答案】－

【解析】因为a＋λb与－(b－3a)共线，所以存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即所以

15．【答案】

【解析】，则

，即，解得