高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量1.2 向量的基本关系当堂检测题

课时作业14　位移、速度、力与向量的概念 向量的基本关系

 [练基础]

1．下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①单位向量都共线；

②长度相等的向量都相等；

③共线的单位向量必相等；

④与非零向量a共线的单位向量是.

A．3  B．2

C．1  D．0

2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)

A.＝

B.＝

C.＝

D.＝

3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)

A．正方形  B．矩形

C．菱形  D．等腰梯形

4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.

5.

如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．

6．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．

(1)作出向量，，；

(2)求||.

(3)写出向量与的夹角．

[提能力]

7．[多选题]给出下列条件，能使a∥b成立的是(　　)

A．a＝b  B．|a|＝|b|

C．a与b方向相反  D．|a|＝0或|b|＝0

8．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点．设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．

9．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.

[战疑难]

10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m……按此方法继续操作下去．

(1)作图说明当α＝45 °时，最少转向几次可使赛车的位移为零？

(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况．

课时作业14　位移、速度、力与向量的概念　

向量的基本关系1.解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．

答案：D

2．解析：由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠.与的模相等且方向相同，∴＝.

答案：D

3．解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．

答案：C

4．解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.

答案：

5．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.

答案：，

6.

解析：(1)如图所示．

(2)由题意，易知与方向相反，

故与共线，即AB∥CD.

又||＝||，

所以四边形ABCD为平行四边形．

所以||＝||＝200(千米)．

(3)向量与的夹角等于与的夹角130°.

7．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.

答案：ACD

8．解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余4个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，，，，，由集合中元素的互异性知T中有12个元素．

答案：12

9．证明：由＝，可得DF＝EC且DF∥EC，

故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.

∵＝，∴D为AB的中点．

∴＝，∴＝.

10．解析：记出发点为A.

(1)当α＝45 °时，如图(1)，赛车行进路线构成一个正八边形，

赛车所行路程是8 m，最少转向7次可使赛车的位移为零．

(2)当α＝120 °时，如图(2)，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3 m，转向2次可使赛车回到出发点；

当α＝90°时，如图(3)，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4 m，转向3次可使赛车回到出发点；

当α＝60°时，如图(4)，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6 m，转向5次可使赛车回到出发点．