高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步本章综合与测试综合训练题

第六章　立体几何初步

专题强化练14　数学文化背景下的空间几何体问题

一、选择题

1.()《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)

A. B. C. D.

2.(2020湖南郴州高三第二次质检,)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式V=(S上++S下)·h(　　)

A. 2寸 B.3寸 C. 4寸 D.5寸

3.(2020河南部分省示范性高中高三统考,)沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟,那么经过5分钟后,沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是(假定沙堆的底面是水平的)　(　　)

A.1∶2 

B.(+1)∶1

C.1∶ 

D.1∶(-1)

4.()中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并以高乘之,六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为(　　)

A. B. C.39 D.

二、填空题

5.()如图为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器表面积的最小值为30π,则正四棱柱的高为　　　　　. 

三、解答题

6.(2019福建福州一中高二模考,)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.

(1)证明:DE⊥平面PBC,试判断四面体EBCD是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角;若不是,请说明理由;

(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求.

专题强化练14　数学文化背景

下的空间几何体问题

一、选择题

1.A　依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,化简得π≈.故选A.

2.B　根据题意,画出轴截面的示意图如图所示,其中AB=12寸,CD=28寸,EF=18寸,EH=9寸,则易得GH=10寸,平地降雨量==3(寸),

故选B.

3.D　由于时间是5分钟,刚好是总时间的一半,而沙子漏下来的速度是恒定的,

所以漏下来的沙子是全部沙子的一半,下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分,所以可以单独研究下方圆锥,下方圆锥被沙子的上底面分成体积相等的两部分,所以==,所以=,所以 =.故选D.

4.B　设下底面的长为x,则下底面的宽为=9-x.因为上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=×3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9-x)]=-x2++,易知当x=时,“刍童”的体积取得最大值,最大值为-+×+=.故选B.

二、填空题

5.答案　5

解析　该几何体可以整理为一个长、宽、高分别为2,1,h的长方体,其中h为四棱柱的高,该长方体的外接球半径R=×,据此可得S=4πR2=(22+12+h2)π=30π,解得h=5,即正四棱柱的高为5.

三、解答题

6.解析　(1)是.因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,得BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,又DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE,又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC,而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.

(2)由已知得,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=S四边形ABCD·PD=BC·CD·PD.由(1)知,DE是鳖臑DBCE的高,BC⊥CE,所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE.

在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是===4.