北师大版高中数学必修第二册第六章立体几何初步课时PPT课件

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§3　空间点、直线、平面之间的位置关系3.1　空间图形基本位置关系的认识知识探究·素养培育探究点一点与直线、点与平面的位置关系[问题1] 空间图形由点、线、面构成.点动成线,线动成面,面动成体.可见点是空间图形最基本的元素,线和面都是点的集合.元素与集合的关系有几种?元素a和集合A的关系如何用符号表示?提示:两种;a是集合A的元素记为a∈A,a不是集合A的元素记为a∉A.知识点1:点与直线、点与平面的位置关系及其符号表示(1)点与直线的位置关系有两种:点在 和点在 .直线上直线外(2)点与平面的位置关系有两种:点在 和点在 .平面内平面外[例1] 如图,点O是长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的中点,判断点A与直线AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD,平面BCC1B1的位置关系,并用符号表示.解:点A在直线AB上,在直线BC,CC1外,在直线C1O上,在平面ABCD内,在平面BCC1B1外;符号表示分别是A∈AB,A∉BC,A∉CC1,A∈C1O,A∈平面ABCD,A∉平面BCC1B1.变式训练1-1:如图,点O是棱台ABCD-A1B1C1D1的两条侧棱BB1,CC1的交点,判断点O与直线BB1,BC,AA1,平面BCC1B1,平面ABCD,平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.解:点O在直线BB1上,在直线BC外,在直线AA1上,在平面BCC1B1内,在平面ABCD外,在平面ADD1A1内;符号表示分别是O∈BB1,O∉BC,O∈AA1,O∈平面BCC1B1,O∉平面ABCD,O∈平面ADD1A1.方法总结判断点是否在直线上和是否在平面内时,要注意利用直线是无限延伸的、平面是无限延展的,同时要注意利用题目的隐含条件,例如平行四边形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点.探究点二直线与直线、直线与平面的位置关系[问题2] 在同一平面内,直线与直线的位置关系有哪几种?提示:有相交和不相交两种.知识点2:直线与直线、直线与平面的位置关系(1)直线与直线的位置关系有两种:直线与直线 和直线与直线 .相交不相交(2)直线与平面的位置关系有三种:直线在 、直线与平面 和直线与平面 .平面内相交平行[例2] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断直线AB与直线BC,CD,C1D1,CC1,平面ABCD,平面BCC1B1,平面A1B1C1D1的位置关系,并用符号表示.变式训练2-1:如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,判断直线AA1与直线AB,CD,BB1,平面ABCD,平面BCC1B1,平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.方法总结直线与直线的位置关系分为相交和不相交两种,事实上两条直线不相交还可以再分为两种情况,将在下一节学习;直线和平面的位置关系分为三种,其中直线和平面相交、直线和平面平行这两种情况可以统称为直线在平面外.探究点三平面与平面的位置关系[问题3] 两条直线可以只有一个公共点,直线和平面也可以只有一个公共点,两个平面是否有只有一个公共点的位置关系呢?提示:没有.知识点3:平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有两种:平面与平面 和平面与平面 .不相交相交[例3] 用符号语言表示下列语句,并画出图形.三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC.解:用符号语言表示为α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图所示.变式训练3-1:三个平面α,β,γ,平面α,β互相平行,平面α与平面γ交于直线m,平面β与平面γ交于直线n,画出上述语句对应的图形并用符号语言表示.方法总结用大写字母表示平面时,例如平面ABCD,“平面”两个字一般不能省略,用希腊字母α,β等表示平面时,“平面”两个字可以省略.拓展探索 素养培优平面划分空间[典例] (1)将一个三棱锥的各面延展成平面后,这些平面可将空间分成几部分?(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后,这些平面可将空间分成几部分?试题情境:三棱锥、三棱柱的各面所在平面划分空间必备知识:平面与平面的位置关系关键能力:空间想象能力核心素养:直观想象解:(1)如图①,将三棱锥的各面延展成平面后,三棱锥的内部是一个空间;由于平面ABD,平面ABC,平面ACD的延展,这三个平面在几何体的外部,即平面BCD的下方会分割出一个空间,即平面BCD对应一个空间,同理,平面ABD,平面ABC,平面ACD也各对应几何体外部的一个空间,这样的空间有4个;同样,将上述三个平面延展后,在顶点A的上方,也分割出一个空间,像这样,顶点B,C,D各对应类似的一个空间,这一类共有4个空间;将这四个面所在平面延展后,几何体的外部,即棱AB将对应一个空间,同理其余的5条棱各对应类似的5个空间,这一类共有6个空间.因此三棱锥的各面延展后,可将空间分成1+4+4+6=15部分.(2)如图②,将三棱柱的三个侧面延展成平面后,可将空间分成7部分,然后,将两底面延展成平面,那么每一个平面将这7部分一分为二,故共分成3×7=21部分.素养演练:贝贝将一个长方体橡皮平行于前面切一刀,平行于左面切一刀,平行于底面也切了一刀,这样一共切了三刀,一共切成了　　　　块小长方体. 解析:2×2×2=8(块).答案:8备用例题[例1] 用一个平面去截圆锥,则截面不可能是(　　)(A)椭圆　　(B)圆　　(C)三角形　　(D)矩形解析:平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个等腰三角形,如果不过顶点,且平面与底面平行,截面就是圆,若不与底面平行,截面可能是椭圆,得不到矩形.故选D.证明:由题意,如图所示,已知点A∈直线a,A∈平面α,点B∉平面α,B∈直线a.假设直线a和平面α不相交,即a∥α或a⊂α.若a∥α,则A与α没有公共点,与A∈α矛盾,若a⊂α,则B∈α,与B∉α矛盾.所以假设不成立,所以直线a和平面α相交.即证.[例2] 求证:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交.点击进入 课时训练·分层突破