2021学年2.1 两角和与差的余弦公式及其应用测试题

课后素养落实(二十七)　两角和与差的余弦公式及其应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．计算cos 37°cos 23°－cos 53°sin 23°的值为(　　)

A．－　 B．

C．  D．－

B　[cos 37°cos 23°－cos 53°sin 23°＝cos 37°cos 23°－sin 37°sin 23°＝cos(37°＋23°)＝cos 60°＝，故选B.]

2．cos 255°的值是(　　)

A．  B．

C. －  D．

C　[cos 255°＝－cos75°＝－cos(30°＋45°)

＝－[cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°]＝－]

3．化简cos(45°－α)cos (α＋15°)－sin(45°－α)sin (α＋15°)的结果为(　　)

A．     B．－

C．     D．－

A　[原式＝cos (α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]

4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos 等于(　　)

A．     B．

C．－     D．

A　[由题意可得sin α＝，cos α＝，

cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.]

5．若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)

A．     B．

C．     D．

C　[sin (α－β)＝－，sin 2α＝(0＜2α＜π)，

∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)

＝×＋×＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]

二、填空题

6．计算：(cos 75°－sin 75°)＝________．

－　[(cos 75°－sin 75°)＝cos 45° cos 75°－sin 45°sin 75°＝cos (45°＋75°)＝cos 120°＝－.]

7．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．

　[原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝.]

8．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝－，<α＋β<2π，<α－β<π，则cos 2α＝________．

－　[因为cos (α＋β)＝，<α＋β<2π，

所以sin (α＋β)＝－；

因为cos (α－β)＝－， <α－β<π，

所以sin (α－β)＝，

所以cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]

＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝－.]

三、解答题

9．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos (α－β)的值．

[解]　∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β).

∴|a－b|＝

＝

＝＝，

∴2－2cos (α－β)＝，∴cos (α－β)＝.

10．已知sin α＝，cos β＝－，α、β均为第二象限角，求cos (α－β)的值．

[解]　由sin α＝，α为第二象限角，

∴cos α＝－＝－＝－.

又由cos β＝－，β为第二象限角，∴sin β＝ ＝＝.

∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

11．若cos (α＋β)＝，sin ＝，α，β∈，则cos 的值为(　　)

A．     B．

C．     D．

C　[∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，β－∈.

又∵cos (α＋β)＝，sin ＝，∴sin (α＋β)＝＝，

cos＝＝，

∴cos＝cos

＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)sin

＝×＋×＝，故选C．]

12．(多选题)设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝(　　)

A．－   B．－

C．     D．

AD　[cos ＝＝＝cos A cos B＋sin A sin B＝cos (A－B)＝.

又－＜A－B＜，∴A－B＝±.]

13．函数f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos 在上的递增区间为________．

　[f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos ＝sin 2x sin ＋cos 2x cos ＝cos .当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)是递增的．取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的递增区间为.]

14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)＝________．

－　[由

①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，

即cos (α－β)＝－.]

15．已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，且＜α＜，0＜β＜，证明：α＋β＝.

[证明]　因为＜α＜，0＜β＜，所以＜2α－β＜π，

因为cos (2α－β)＝－，所以＜2α－β＜π，

所以sin (2α－β)＝.

因为＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－2β＜.

因为sin (α－2β)＝，所以0＜α－2β＜.

所以cos (α－2β)＝，

所以cos (α＋β)＝cos

＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－×＋×＝0.

又＜α＜，0＜β＜，

所以＜α＋β＜，

所以α＋β＝.