高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 两角和与差的余弦公式及其应用导学案

§2　两角和与差的三角函数公式

2．1　两角和与差的余弦公式及其应用

知识点　两角和与差的余弦公式

cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．(Cα＋β)

cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β．(Cα－β)

(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．

(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．

思考：1.“cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β”正确吗？

提示：不正确．cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．

2．把“cos ”用两角和的余弦公式展开，和用诱导公式化简的结果相同吗？

提示：相同．用两角和的余弦公式展开为cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－sin α，用诱导公式化简为

cos ＝－sin α.

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β. (　　)

(2)任意角α，β，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. (　　)

(3)任意角α，β，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (　　)

[提示]　(1)正确．如α＝，β＝，cos (α－β)＝cos ＝cos ＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，满足cos (α－β)＝cos α－cos β.

(2)错误．由两角差的余弦公式可知不正确．

(3)正确．由两角和的余弦公式可知正确．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2.cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝(　　)

A．－　　　B．　　　C．－　　　D．

B　[cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝cos (20°＋10°)＝cos 30°＝.]

类型1　给角求值

【例1】　计算：(1)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°；

 (2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；

(3)cos 15°＋sin 15°.

[解]　(1)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°

＝cos 35°cos 25°＋sin 35°sin(180°＋25°)

＝cos 35°cos 25°－sin 35°sin 25°＝cos(35°＋25°)＝cos 60°＝.

(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°

＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)

＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°

＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.

(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，

∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.

利用两角和与差的余弦公式求值的方法技巧,在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的和或差(或同一个非特殊角与特殊角的和或差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角和或差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．

1．(1)化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(　　)

A． B．

C．－ D．－

(2)cos (x＋27°)cos (x－18°)＋sin (x＋27°)sin (x－18°)＝________．

(1)B　(2)　[(1)cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°

＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.

(2)原式＝cos [(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝.]

类型2　给值求值

【例2】　(教材北师版P144例2改编)(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos (α－β)等于(　　)

A．－  B．－

C．  D．

 (2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值．

(1)D　[因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，

所以(cos α－cos β)2＝，(sin α－sin β)2＝－，

两式相加，得2－2cos (α－β)＝2－.

所以cos (α－β)＝.]

(2)[解]　∵α，β为锐角，

∴0<α＋β<π.

又∵cos (α＋β)＝>0，

∴0<α＋β<，

∴0<2α＋β<π.

又∵cos (2α＋β)＝>0，

∴0<2α＋β<，

∴sin (α＋β)＝，sin (2α＋β)＝，

∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos (2α＋β)·cos (α＋β)＋sin (2α＋β)·sin (α＋β)

＝×＋×＝.

给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β).

2．已知0<α<β<，且sin α＝，cos (α－β)＝，求cos β的值．

[解]　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝.

由0<α<β<得，－<α－β<0，因为cos(α－β)＝，

所以sin (α－β)＝－＝－，

所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.

类型3　给值求角

【例3】　(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________

(2)已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

(1)已知一个角的三角函数值，如何求这个角的值？

[提示]　根据这个角的范围，利用相关三角函数的单调性确定这个角的值．

(2)已知cos α＝，若α∈，则α的值是什么？若α∈呢？

[提示]　当α∈时，α的值为；当α∈时，α的值为或－.

(1)　[因为α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝，cos β＝，所以cos (α－β)＝×＋×＝，

又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，所以0<α－β<，所以α－β＝.]

(2)[解]　由α－β∈，cos (α－β)＝－，可知sin (α－β)＝.

又∵α＋β∈，cos (α＋β)＝，

∴sin (α＋β)＝－，

∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]

＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－1.

∵α－β∈，α＋β∈，∴2β∈，

∴2β＝π，故β＝.

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；

(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；

(3)结合三角函数值及角的范围求角．

3．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．

[解]　∵α、β∈且cos α＝，cos (α＋β)＝－，

∴sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝.

又∵β＝(α＋β)－α，

∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.

又∵β∈，∴β＝.

1．下列三角函数式正确的是(　　)

A．cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β

B．cos (α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β

C．cos (α＋β)＝cos αcos α＋sin βsin β

D．cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

D　[由两角和与差的余弦公式可知选项D正确．]

2．若a＝(cos 30°，sin 30°)，b＝(cos 15°，－sin 15°)，则a·b等于(　　)

A．    B．    C．    D．－

A　[a·b＝cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°＝cos(30°＋15°)＝cos 45°＝，故选A.]

3．cos 15°＝________

　[cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.]

4．计算：sin 60°＋cos 60°＝________．

　[原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝.]

5．已知锐角α、β满足cos β＝，sin (α－β)＝－，则cos α＝________．

　[∵α为锐角，且cos β＝，∴sin β＝.

又∵0<α<，0<β<，

∴－<α－β<.

又∵sin (α－β)＝－，

从而cos (α－β)＝，

∴cos α＝cos [β＋(α－β)]

＝cos βcos (α－β)－sin βsin (α－β)

＝×－×＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何解决“给式求值”或“给值求值”问题？

[提示]　“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2.如何求解给值求角问题？

[提示]　“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．