数学必修 第二册5.1 直线与平面垂直综合训练题

【精挑】5.1 直线与平面垂直-3优选练习

一．填空题

1．如图所示，在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为的等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为________．

2．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连结，当的面积最大时，__________.

3．已知正四棱锥的底面边长为高为其内切球与面切于点，球面上与距离最近的点记为，若平面过点，且与平行，则平面截该正四棱锥所得截面的面积为______.

4．如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D为的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为__________

5．已知为等腰直角三角形，，在AC边上任取一点D，过D作BC的平行线交AB于E.以DE为折痕，将折起，使平面平面，则四棱锥体积的最大值为_________.

6．如图，四棱锥，底面为正方形，侧棱底面，，，，分别在，上，且，，过直线作平面与侧棱．分别交于点．，截面把四棱锥分为上．下两部分，则上部分与下部分体积比值的最小值为________.

7．设是的二面角内一点，,分别为垂足，,则的长为________________.

8．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.

9．如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.

10．在正方体中,直线与面所成角的正弦为__________.

11．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是____________.（填序号）

①若则；②若则；

③若则；④若则.

12．如图，在长方体中，，，，E为的中点，则直线与平面所成角的大小是________.

13．在三棱锥中，顶点在底面的射影为的垂心，且中点为，过作平行于的截面，记，记与底面所成的锐二面角为，当取到最大，___________.

14．正四棱锥中，，，则与平面所成角的正弦值为__________.

15．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①；

②∠BAC＝60°；

③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．

其中正确结论的序号是　   　．（请把正确结论的序号都填上）

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意，易得的中心即为三棱锥外接球的球心，求得球的半径，代入球的表面积公式求解.

详解：因为，所以截面圆的外心是AC的中点，

因为底面是边长为的等边三角形，

所以其外接圆的圆心为其中心，又因为侧面底面，

由截面圆的性质可知：的中心即为三棱锥外接球的球心，

设外接球的半径为，由正弦定理知，解得，

故三棱锥的外接球的表面积为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查球的组合体问题，还考查了空间想象的能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】利用平面，根据线面垂直的性质定理可得，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出平面，进而可以证明出，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明平面，因此可以证明出，最后利用线面垂直定理证明出平面，因此得到，，且为中点.

解法1：

设，，利用三角形面积公式可以求出的长，在利用，求出的长，最后求出的面积表达式，利用换元法和配方法求出面积平方的最大值，最后求出的值；

解法2：

设，求出．．．的大小，再求出的大小，最后求出

表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出的值.

【详解】

因为平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，综上，，且为中点.

解法1：

设，，则，又，则，

又，可得，所以，

所以，令，

则

所以当时即，，，此时，故填.

解法2.

设，则，所以.

又，，所以，所以

所以

当且仅当即时，取等号.

故答案为：

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.

3．【答案】

【解析】取中点，连，取中点，连，则平面，根据已知可得为正三角形，正棱锥内切球的球心为正的内心，与面切于点为中点，球面上与距离最近的点为与球面的交点，即在之间且长为内切球的半径，连并延长交于，平面过与平行，可得平面分别与平面．平面的交线为过与平行的直线，即可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

详解：取中点，连，取中点，连，

则，为正方形的中心，四棱锥是正四棱锥，

所以平面，，

在中，，

同理，所以为正三角形，

所以正四棱锥内切球的球心为正的内心，

内切球的半径是正的内切圆半径为，

内切球与平面的切点为正内切圆与直线的切点，

所以为中点，球面上与距离最近的点为连与球面的交点，

即在之间，且，因此为中点，

连并延长交于，平面过与直线平行，

设平面分别与平面．平面交于，

因为平面，所以，又因为，，

所以，同理可证，所以，连，

则梯形为所求的截面，因为，

，所以平面平面，

所以，所以，

连，则为的角平分线，所以，

又因为分别为的中点，所以，

所以，而，所以，

所以，

又，所以，

所以截面梯形的面积.

故答案为：.

【点睛】

本题以多面体的内切球为背景，考查空间线．面位置关系，应用直线与平面性质确定截面是解题的关键，要注意平面几何知识的应用，考查直观想象．逻辑推理能力，属于较难题.

4．【答案】.

【解析】先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．

详解：如图，连接B1D，因为三角形为正三角形，则， 又平面 ⊥平面AC1，交线为，B1D平面 ，则B1D⊥平面AC1，

过A点作AG⊥CD，

则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D，由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，

于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，

由已知，不妨令棱长为2，则可得ADCD，

由等面积法算得AG

所以直线AD与面DCB1的正弦值为 ；

故答案为．

【点睛】

考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解

5．【答案】

【解析】设,求出底面积，写出棱锥面积，利用导数求最值即可.

【详解】

设，则所以梯形的面积为

，

则四棱锥体积，

即，

令，得，

所以在单调递增，在单调递减，故时，取得最大值.

所以当时，.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了棱锥的体积，利用导数求函数的最值，属于中档题.

6．【答案】

【解析】设，，根据题意要上部分与下部分的体积比值最小，即要最小.根据相似比得到，，从而得到，同理，两者建立x，y的关系，利用基本不等式求解的最小值.

详解：如图所示：

设，，

因为侧棱底面，，，

所以.

要上部分与下部分的体积比值最小，即要最小.

因为，

，

所以，

同理，

所以，化简得，

所以，当且仅当时取“=”，所以上部分与下部分体积比值的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查多面体的体积的求法以及基本不等式的应用，还考查了转化思想和运算求解的能力，属于中档题.

7．【答案】

【解析】由题意，，

由余弦定理可知，，所以．

点睛：本题考查空间几何体．由二面角的定义而知，过作公共边的垂线，交于点，则就是二面角的平面角，由四边形内角和，得到，利用余弦定理解得答案．

8．【答案】

【解析】确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.

【详解】

如图，在正方体中，记的中点为，连接，

则平面即为平面．证明如下：

由正方体的性质可知，，则，四点共面，

记的中点为，连接，易证．连接，则，

所以平面，则．

同理可证，，，则平面，

所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．

因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，

其对角线，，所以其面积．

故答案为：

【点睛】

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

9．【答案】     

【解析】关键要找平面的垂线，根据题中的垂直关系，作平行四边形，连接，可证平面．从而可得直线与平面ABC所成角，解之即可，而就是三棱锥P-ABC外接球的直径，这个易求．

【详解】

如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．

由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．

由得，又，∴．

∴PA与平面ABC所成角是．

由知的中点到的距离相等，是三棱锥P-ABC外接球的直径．

由平面得，，

．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，考查球的表面积．解题关键是找到平面的垂线，作出直线与平面所成的角．

10．【答案】

【解析】连接交点为，可证就是直线与面所成角．

【详解】

连接交点为，连接，由平面，平面，得，又，，∴平面．∴就是直线与面所成角，

在中，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求直线与平面所成角，解题时必须作出直线与平面所成角并证明，然后在三角形中解得这个角．

11．【答案】②④

【解析】由空间线面．线线的位置关系，逐一判断即可得解.

详解：解:对于①, 若则或与相交或与异面,即①错误；

对于②, 若则,即②正确；

对于③,若则或与相交或与异面,即③错误；

对于④,若由面面垂直的性质定理可得,即④正确,

即命题中正确的是②④,

故答案为: ②④.

【点睛】

本题考查了空间线面．线线的位置关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

12．【答案】30°（或）

【解析】取的中点F，连接，然后证明取的中点F，连接，最后在中求出角的大小即可.

【详解】

取的中点F，连接，

∵，∴面,

则为直线与平面所成的角.

由题意可得，，

则，故，

即直线与平面所成角的大小是30°，

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键，属于中档题.

13．【答案】

试题分析：根据题意可得平面与底面所成的锐二面角为，即为，在中，，在中，，再利用基本不等式，进而化简即可得到结论.

【详解】

如图，

平行于平面和底面的交线.

又顶点在底面的射影为的垂心，

则，，

平面，

，

因此平面与底面所成的锐二面角为，即为.

在中，，在中，，

又点为的中点，所以，即，

整理得，

所以当取到最大时.（这个问题就是米勒最大角问题.）

即时，角最大，从而正切值最大，

不妨设，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查棱锥的结构特征，线面角的求法，两角和的正切公式，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题.

【解析】

14．【答案】

【解析】作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作交延长线于，可得平面PBC，从而是直线PA与平面PBC所成的角．在中计算出这个角的正弦值即可．

【详解】

在正四棱锥中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，，

作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，，

由得．∴，

，由，得是钝角，

作交延长线于，连接PH，

由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，平面ACE，∴PB⊥AH，，∴平面PBC，∴是直线PA与平面PBC所成的角．

△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且，

，

在中，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．

15．【答案】②③

【解析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②由折叠后AB＝AC＝BC，三角形为等边三角形，得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．

详解：BD⊥平面ADC，？BD⊥AC，①错；

AB＝AC＝BC，②对；

DA＝DB＝DC，结合②，③对④错．

故答案为②③

【点睛】

本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．