高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时作业

课时素养评价 十二

基本不等式

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)

1.已知a+2b=2(a>0，b>0)，则ab的最大值为 (　　)

A.   B.2   C.3   D.

【解析】选A.因为a>0，b>0，所以a+2b≥2，

所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a=1，b=时，等号成立.

2.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 (　　)

A.x=3    B.x=6

C.x=5    D.x=10

【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2，即x=5(x=-1舍去).

3.设非零实数a，b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的 (　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.因为a，b∈R时，都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，

即a2+b2≥2ab，而+≥2⇔ab>0，

所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.

4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为_______. 

【解析】因为x<0，所以y=1-2x-

=1+(-2x)+≥1+2=1+2，当且仅当x=-时取等号，故y的最小值为1+2.

答案：1+2

5.若0<a<1，0<b<1，a≠b，则a+b，2，2ab，a2+b2中最大的一个是_______. 

【解析】因为0<a<1，0<b<1，a≠b，

所以a+b>2，a2+b2>2ab.

所以四个数中最大的应从a+b，a2+b2中选择.

而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).

又因为0<a<1，0<b<1，所以a(a-1)<0，b(b-1)<0，所以a2+b2-(a+b)<0，即a2+b2<a+b，

所以a+b最大.

答案：a+b

6.已知方程ax2-3x+2=0的解为1，b.

(1)求a，b的值.

(2)求(2a+b)x-(x>0)的最小值.

【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a，b.(2)利用基本不等式求最小值.

【解析】(1)由题意知：

解得a=1，b=2.

(2)由(1)知a=1，b=2，

所以(2a+b)x-=4x+，

而x>0时，4x+≥2=2×6=12.

当且仅当4x=，即x=时取等号.

所以(2a+b)x-(x>0)的最小值为12.

　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则              (　　)

A.a<v<   B.v=

C.<v<   D.v=

【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式，再利用基本不等式与作差法比较即可.

【解析】选A.设甲、乙两地相距s，

则小王用时为+，

因为a<b，所以v==<=.

又v-a=-a=>=0，所以v>a.

2.已知当x=a时，代数式x-4+(x>-1)取得最小值b，则a+b= (　　)

A.-3   B.2   C.3   D.8

【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5，由x>-1，得x+1>0，>0，

所以由基本不等式得y=x+1+-5≥

2-5=1，当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.

3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为              (　　)

A.2   B.4   C.9   D.16

【解析】选B.(x+y)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.

当且仅当=时取等号.

所以(1+)2≥9，所以a≥4.

4.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是              (　　)

A.(a+b)2≥4ab

B.当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合

C.(a-b)2≤4ab

D.(a+b)2>(a-b)2

【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有 (　　)

A.ab>1    B.ab<1

C.<1    D.>1

【解析】选BD.因为ab≤，a≠b，所以ab<1，

又1==<，

所以>1，所以ab<1<.

6.下列推导过程，正确的为 (　　)

A.因为a，b为正实数，所以+≥2=2

B.因为x∈R，所以>1

C.a<0，所以+a≥2=4

D.因为x，y∈R，xy<0，所以+=-+≤-2=-2

【解析】选AD.因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；

当x=0时，有=1，故B不正确；当a<0时，+a≥2=4是错误的，C不正确；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体+提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，且计算正确，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知t>0，则函数y=的最小值为_______. 

【解析】因为t>0，所以y==t+-4≥2-4=-2，且在t=1时取等号.

答案：-2

8.规定记号“☉”表示一种运算，即a☉b=+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为_______，此时的最小值为_______. 

【解析】1☉k=+1+k=3，即k+-2=0，

所以=1或=-2(舍)，所以k=1.

==1++≥1+2=3，当且仅当=，即x=1时等号成立.

答案：1　3

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.求t=x+的取值范围.

【解析】当x>0时，x+≥2=2，

当且仅当x=，即x=1时，“=”成立，

所以x+≥2.

当x<0时，x+=-≤

-2=-2，当且仅当-x=，

即x=-1时，“=”成立.

所以x+≤-2.

故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.

10.已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？

【解析】(a-c)≥4，理由如下：

因为a-c=(a-b)+(b-c)，

所以[(a-b)+(b-c)]

=2++，

又a>b>c，所以+≥2，

故(a-c)≥4，

当且仅当=时，取“=”.

1.已知a>0，b>0，则++2的最小值是 (　　)

A.2   B.2   C.4   D.5

【解析】选C.++2≥2+2≥

4=4.当

即a=b=1时，等号成立，

因此++2的最小值为4.

2.已知x1·x2·…·x2 020=1，且x1，x2，…，x2 020都是正数，求(1+x1)(1+x2)…

(1+x2 020)的最小值.

【解析】因为x1·x2·…·x2 020=1，

且x1，x2，…，x2 020都是正数，

所以(1+x1)(1+x2)…(1+x2 020)≥

2·2·…·2

=22 020·=22 020.

当且仅当x1=x2=…=x2 020=1时，取“=”.

故所求最小值为22 020.

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