湘教版八年级下册1.3 直角三角形全等的判定第1课时练习

1.4　第1课时　角平分线的性质

一、选择题

1.如图1,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.则下列结论中不一定成立的

是 (　　)                                                    

A.PA=PB                     B.PO平分∠APB

C.OA=OB                 D.AB垂直平分OP

图1                             图2

2.如图2,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P是 (　　)

A.线段CD的中点 

B.OA与OB的垂直平分线的交点 

C.OA与CD的垂直平分线的交点 

D.CD与∠AOB的平分线的交点

3.如图3,在∠MON中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OM于点A,交射线ON于点B,再分别以点A,B为圆心,OA的长为半径作弧(OA>AB),两弧在∠MON的内部交于点C,作射线OC.若OA=5,AB=6,则点B到AC的距离为 (　　)

A.5            B.          C.4            D.

图3                                图4

二、填空题

4.如图4,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D.若QC=QD,则∠AOQ=　　　　°.

三、解答题

5. 如图5,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,

垂足分别为C,D.

(1)试用“AAS”证明:△POC≌△POD;

(2)求证:OP是CD的垂直平分线.

                                                                       图5

6 已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角尺的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA,OB相交于点D,E.

(1)如图6①,当CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E时,求证:CD=CE.

(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图②的情况下,(1)中的结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.

                                                图6

参考答案

1.[解析] D　根据角平分线的性质知选项A正确,可证明△OPA≌△OPB,从而知选项B,C正确.

2.D

3.[解析] B　由题意可得,OC为∠MON的平分线.∵OA=OB,OC平分∠AOB,∴OC⊥AB.

设OC与AB交于点D,作BE⊥AC于点E.

∵AB=6,OA=5,AC=OA,OC⊥AB,∴AC=5,∠ADC=90°,AD=3,∴CD=4.

∵=,∴=,解得BE=.

4.35

5.证明:(1)∵点P在∠AOB的平分线上,∴∠POC=∠POD.

又PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠PCO=∠PDO=90°.∵OP=OP,∴△POC≌△POD(AAS).

(2)由(1)知△POC≌△POD,∴OC=OD,∴点O在线段CD的垂直平分线上.同理PC=PD,

∴点P在线段CD的垂直平分线上,∴OP是线段CD的垂直平分线.

6解:(1)证明:∵OM是∠AOB的平分线,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,∴CD=CE.

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明:如图,过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.

∵OM为∠AOB的平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,

∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°.

又∵∠1与∠2都为旋转角,∴∠1=∠2.在△CKD与△CHE中,

∵∠CKD=∠CHE,CK=CH,∠1=∠2,∴△CKD≌△CHE,∴CD=CE.