【同步练习】苏科版初二数学下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》（培优卷）

第9章   中心对称图形——平行四边形（培优卷）

一．选择题（每小题3分，共18分）

1.围棋在我国古代称为弈，春秋战国时期，围棋已在社会上广泛流传了，如图截取了两人在围棋比赛中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：选项绕某一点旋转180°后不与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项A绕一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：A．

2.如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A点绕O点逆时针旋转，得到点，

向下平移4个单位，得到，

故选：D．

3.如图，将一个含的三角板，绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，且，则线段（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：如图，连接，延长交于点，

由旋转可知，，，，，

为等边三角形，，

在与中，

，，，（），

，∴，且，

，，，

，，，

，，，

，，，，

故选：A．

4.如图，正方形中，点P和H分别在边上，且，，，则BE的长是（    ）

A． B．5 C．7 D．

【答案】D

【解析】解：∵四边形是正方形，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，

即

故选: D.

5.如图是一张长方形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：连接，设，

根据矩形的基本性质可知，，

∴，，∴

∵折叠得到，∴，，

又，∴，∴

∵，

∴，∴

∴，∴

故

故选：B

6.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，若每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为则的坐标为（    ）

A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，）

【答案】C

【解析】解：连接，如图所示，交y轴于点D．

∵四边形是菱形， ∴．

∵，∴是等边三角形．∴，∴，

∴，∴，∴，∴B的坐标为，

如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．

∵，∴点B向右平移(即)到点．

∵B的坐标为，∴的坐标为．

故选：C．

二．填空题（每小题2分，共20分）

7.如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．

【答案】

【解析】解：设，

∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合，

∴，，，的度数等于旋转角的度数，

∴，

在中，

∵，∴，∴，解得，

∴旋转角的度数为．

故答案为：．

8.如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．

【答案】

【解析】解：在▱中，

，四边形是菱形，，，

，，，

，，，

，，

．

故答案为：．

9.如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是______．（仅填序号）

【答案】②

【解析】解：由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；

由四边形是菱形加上条件可证得到，能证明四边形成为正方形；

由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；

故答案为：②．

10.如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，连接，，，则_____．

【答案】

【解析】四边形是菱形，，

，，，，,

，，，

为的中点，，，

故答案为：．

11.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为_________．

【答案】

【解析】解：，，

四边形是菱形，，，，

（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），，，

由得，，

，，，，

故答案为：．

12.在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 _____度．

【答案】45或135

【解析】∵四边形是矩形，∴，，

∵平分，∴，

由题意可分：①当的平分线交线段于点E，

；

②当的平分线交线段外于点E，；

综上所述： 或45°，

故答案为：45或135．

13.如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，点，，若直线恰好平分平行四边形的面积，则点D的坐标是 _____________．

【答案】

【解析】解：连接，设，的中点为T，

，，

直线平分平行四边形的面积，直线经过点T，

，，，

故答案为：．

14.如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__．

【答案】4.5

【解析】解：，，

四边形、、、为平行四边形，

，

同理可得，，

，

即．

，，

；

故答案为：4.5．

15.如图，，，将绕点逆时针旋转α角（），得到，设直线、交于点，连接，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为_____．

【答案】或

【解析】解：∵绕点逆时针方向旋转得到，

∴，

∴，

∴，

根据三角形的外角性质，，

是等腰三角形，分三种情况讨论，

时，，无解，

时，，解得，

③时，，解得，

综上所述，旋转角度数为或．

故答案为：或．

16.如图，在四边形中，，，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动．两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，以点、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是________．

【答案】2

【解析】解：如图，由题意可得：，，

∵，，∴，，

①当时，解得，∴，，，

此时只有四边形是平行四边形，舍去，

②当，解得：，∴，，，

此时只有四边形是平行四边形，舍去，

③当时，解得：，此时，，，，

∴此时四边形，四边形为平行四边形，

④当时，解得，不合题意，舍去，

⑤当时，解得：，与③同类，符合题意，

⑥当时，解得：，

此时，，，

此时此时只有四边形是平行四边形，舍去，

综上：，以点、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是．

故答案为：．

三．解答题（共62分）

17.（6分）图①、图②都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图．

(1)在图①中，找一个格点，使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形．

(2)在图②中，找两个格点，，使以点A，，，为顶点的四边形是中心对称图形．

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】（1）解：如图，点为所作．

（2）解：如图，点、为所作．

18.（8分）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合．

(1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°．

(2)判断的形状并说明理由．

【答案】(1)；；(2)是等腰直角三角形，理由见解析

【解析】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合，

又∵四边形是正方形，

∴，，

∴旋转中心是点，旋转角的度数为．

故答案为：；．

（2）是等腰直角三角形，理由如下：

∵与重合，

∴，

∴，，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形．

19.（8分）如图，在正方形中，点K在上，连接，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形对角线交点，连接；

(1)求证：；

(2)请判定的形状，并证明．

【答案】(1)详见解析；(2)是等腰直角三角形，详见解析

【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，，∴，

∵，，∴，∴，

∴，∴，∴ ；

（2）是等腰直角三角形，

理由如下：如图，连接，

∵点O是正方形的中心，

∴，，，

∵，∴，∴，

又∵，，∴，∴，，

∵，∴，∴，

∴是等腰直角三角形．

20.（10分）如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在边上，，．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析；(2)2．

【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，，

是的中点，是的中位线，，

，∴四边形是平行四边形，

，，

∴平行四边形是矩形；

（2）解：由（1）得：四边形是矩形，，

∵四边形是菱形，，，

是的中点，∴，

在中，，

．

21.（10分）在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．

(1)如图1，连接，若，试说明与的关系；

(2)如图2，若为的中点，在边上是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

【答案】(1)，且，理由见解析

(2)F在AB边上存在时，使得四边形EFDG为菱形

【解析】（1）解：，且．                

∵四边形为正方形，∴，，                   

在和中，

，

∴，∴，，             

∵，∴，∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，且，  ．

（2）解：存在，理由如下：

设，

∵，∴，∴，

∵点E为中点，∴，            

∵四边形为菱形，∴，

由勾股定理可得，即

解得                 

∴F在边上存在时，使得四边形为菱形．

22.（10分）如图，在长方形中，，，E为边上一点，，连接．

(1)求的长；

(2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点A运动，连接，设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，是等腰三角形．

【答案】(1)；(2)t值为2或或．

【解析】（1）解：∵四边形是长方形，

∴，，

∴，

 在中，，

（2）解：若为等腰三角形，则有三种可能．

当时，，

∴，

当时，，

∴，

当时，过点E作，

在中，，

∴，即，

解得：， ，

∴．

综上所述，符合要求的t值为2或或．

23.（10分）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°）

解决问题：

（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；

拓展应用：

（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】（1），理由如下：

如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，

将顺时针旋转得，

，，，

四边形是正方形，，，

，，，

，

（2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接．

绕点逆时针旋转得到，，，．

由题知，，，．

．．

，．．

是等腰直角三角形，．

．，．

（3）．

如图，连接，过点作于，

四边形是菱形，，

，是等边三角形，，，

，，

，

是等边三角形，，，