北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线课时训练

这是一份北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线课时训练，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题）
1. 如图，在 △ABC 中，边 BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，垂足为 E，如果 △ABD 的周长为 10 cm，BE=3 cm，则 △ABC 的周长为
A. 9 cmB. 15 cmC. 16 cmD. 18 cm

2. 如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 D 在 的垂直平分线上．
A. ABB. ACC. BCD. 不能确定

3. 【测试 1 】如图，在 △ABC 中，DE 是边 AC 的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD 的周长为 26 cm，则 △ABC 的周长为 cm．
A. 32B. 29C. 38D. 36

4. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 处一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ⊥l 于点 Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是
A. B.
C. D.

5. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=1．点 Q 在直线 BC 上，且 AQ=2，则线段 BQ 的长为
A. 3B. 5
C. 3+1 或 3-1D. 5+1 或 5-1

6. 如图，已知 ∠ABC，ABA. B.
C. D.

7. 如图，已知 △ABC，ABA. B.
C. D.

8. 下列条件中，不能判定直线 MN 是线段 AB（M，N 不在 AB 上）的垂直平分线的是
A. MA=MB，NA=NBB. MA=MB，MN⊥AB
C. MA=NA，MB=NBD. MA=MB，MN 平分 AB

9. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5，△ABD 的周长为 16，则 △ABC 的周长为
A. 18B. 21C. 24D. 26

10. 平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画 a 条直线，最多可画 b 条直线，那么 a+b 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

11. 如图，AC=AD，BC=BD，则有
A. AB 垂直平分 CDB. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分D. CD 平分 ∠ACB

12. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB>AC．按下列步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N；②作直线 MN，与边 AB 相交于点 D，连接 CD．下列说法不一定正确的是
A. ∠BDN=∠CDNB. ∠ADC=2∠B
C. ∠ACD=∠DCBD. 2∠B+∠ACD=90∘

13. 如图，用直尺和圆规在 AC 上确定一点 P，使 PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是
A. B.
C. D.

14. 如图，△ABC 中，AB=AC，E 在 BC 上，D 在 AE 上（不与 A 重合），则下列说法中正确的有 个．

① 若 E 为 BC 中点，则有 BD=CD；
② 若 BD=CD，则 E 为 BC 中点；
③ 若 AE⊥BC，则有 BD=CD；
④ 若 BD=CD，则有 AE⊥BC．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题）
15. 如图，因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线（已知），所以 ⊥ ， = ．

16. 阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线 AB 和 AB 上一点 C．求作：AB 的垂线，使它经过点 C．
小艾的作法如下：
如图，（1）在直线 AB 上取一点 D，使点 D 与点 C 不重合，以点 C 为圆心，CD 长为半径作弧，交 AB 于 D，E 两点；
（2）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 12DE 长为半径作弧，两弧相交于点 F；
（3）作直线 CF．
所以直线 CF 就是所求作的垂线．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是 ．
17. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=54∘，∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将 ∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则 ∠OEC 的度数是 ．
18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F．若 ∠F=30∘，DE=1，则 BE 的长是 ．
19. 如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=3 cm，△ABC 的面积是 6 cm2，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AC 于点 E，F，点 D 为 BC 边上的中点，M 为 EF 上的动点．
（1）当 △BMD 周长的最小时，请在图中作出满足条件的 △BMD（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）△BMD 周长的最小值是 ．
20. 到点 A，B 距离相等的点的轨迹是 ．

三、解答题（共5小题）
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，求 AB 的长．

22. 如图，在四边形 ABCD 中，AB 的垂直平分线与 CD 的垂直平分线交于点 P，且 PA=PD．求证：点 P 一定在 BC 的垂直平分线上．

23. 如图，点 M 和点 N 在 ∠AOB 内部．
（1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到 ∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．

24. 如图，已知 AB 比 AC 长 2 cm，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，△ACD 的周长是 14 cm，求 AB 和 AC 的长．

25. 如图，已知直线 l1∥l2，直线 l3 分别与 l1，l2 交于点 A，B．请用尺规作图法，在线段 AB 上求作一点 P，使点 P 到 l1，l2 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
1. C
2. B
3. D【解析】∵DE 是边 AC 的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2AE=10，
∵△ABD 的周长为 26，
∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=26，
∴△ABC 的周长 =AB+BC+AC=26+10=36cm，
故选：D．
4. A
5. C
【解析】如图：
①当 Q 在 BC 方向时，则有：
∵∠ACB=90∘，且 AC=BC=1，AQ=2，
∴ 在 Rt△ACQ 中，
QC=AQ2-AC2=22-12=3，
则 BQ=BC+CQ=1+3．
②当 Qʹ 在 CB 方向时，
∵∠ACB=90∘ 且 AC=BC=1，AQʹ=2，
在 Rt△ACQʹ 中，
CQʹ=AQ2-AC2=22-12=3，
则 BQʹ=CQʹ-BC=3-1．
故选C．
6. D
7. D
8. C
【解析】因为 MA=MB，NA=NB，
所以直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线；
因为 MA=MB，MN⊥AB，
所以直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线；
当 MA=NA，MB=NB 时，直线 MN 不一定是线段 AB 的垂直平分线；
因为 MA=MB，MN 平分 AB，
所以直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线．
9. D
【解析】∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=5，
而 △ABD 的周长是 16，即 AB+BD+AD=16，
∴AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=16+10=26，
即 △ABC 的周长是 26．
10. D
【解析】如图所示：
平面上有四个点最少画 1 条直线，最多画 6 条直线．
故 a=1，b=6．则 a+b=1+6=7．
11. A
【解析】∵AC=AD，BC=BD，
∴ 点 A 在 CD 的垂直平分线上，点 B 在 CD 的垂直平分线上，
∴AB 是 CD 的垂直平分线．
即 AB 垂直平分 CD．
12. C
13. C
14. D
15. AB，CD，CO，DO
16. 等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线．
17. 108∘
【解析】如图，连接 OB，OC．
因为 ∠BAC=54∘，AO 为 ∠BAC 的平分线，
所以 ∠BAO=12∠BAC=12×54∘=27∘．
又因为 AB=AC，
所以 ∠ABC=12180∘-∠BAC=12×180∘-54∘=63∘．
因为 DO 是 AB 的垂直平分线，
所以 OA=OB．
所以 ∠ABO=∠BAO=27∘，
所以 ∠OBC=∠ABC-∠ABO=63∘-27∘=36∘．
因为 AO 为 ∠BAC 的平分线，AB=AC，
所以 △AOB≌△AOCSAS．
所以 OB=OC．
所以点 O 在 BC 的垂直平分线上．
又因为 DO 是 AB 的垂直平分线，
所以点 O 是 △ABC 的三边垂直平分线的交点．
所以 ∠OCB=∠OBC=36∘．
因为将 ∠C 沿 EF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合．
所以 OE=CE．
所以 ∠COE=∠OCB=36∘．
在 △OCE 中，
所以 ∠OEC=180∘-∠COE-∠OCB=180∘-36∘-36∘=108∘．
18. 2
19. （1）如图所示，△BMD 即为所求．
（2）5.5
【解析】（1）连接 AD 交 EF 于点 M，连接 BM，
∵EF 垂直平分线段 AB，
∴AM=BM，
∵ 点 D 是 BC 的中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵C△BMD=BM+DM+BD=AM+DM+BD=AD+BD,
∴ 当点 M 在线段 AD 与 EF 的交点处时，△BMD 的周长最小，
∴△BMD 即为所求．
（2）
∵S△ABC=12BC⋅AD=12×3×AD=6,
∴AD=4，
∴△BMD 周长的最小值为 4+1.5=5.5．
20. 线段 AB 的垂直平分线
21. AB=AC2+BC2=122+52=13．
22. 如图，连接 PB，PC．
因为点 P 是 AB，CD 的垂直平分线的交点，
所以 PA=PB，PC=PD，
又因为 PA=PD，
所以 PB=PC，
所以点 P 一定在 BC 的垂直平分线上．
23. （1） 如图所示．
（2） 作图的理由：点 P 在 ∠AOB 的平分线上，又在线段 MN 的垂直平分线上，∠AOB 的平分线和线段 MN 的垂直平分线的交点即为所求．
24. BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，
∴DB=DC，
∵△ACD 的周长是 14，
∴AD+AC+CD=14，即 AC+AB=14，
则 AC+AB=14,AB-AC=2,
解得，AB=8 cm，AC=6 cm．
25. 如图，点 P 为所作．