初中数学第一章 三角形的证明4 角平分线第1课时同步练习题

4　第1课时　角平分线

知识点 1　角平分线的性质定理

1.如P是 ∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,连接CD交OP于点E,下列结论不一定正确的是(　　)

A.PC=PD   B.OC=OD    C.OP垂直平分CD     D.OE=CD

2.如已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于点H,Q是射线OA上的一个动点.若PH=5,则PQ长的最小值为(　　)

A.10            B.5           C.3            D.2.5

3.如∠AOB=150°,OC平分∠AOB,P为OC上一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E.若DP=4,则PE的长为　　　　. 

4.如在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长.

                                                        知识点 2　角平分线的判定定理

5.如DA⊥AC,DE⊥BC,垂足分别为A,E,若DA=5 cm,DE=5 cm,∠ACD=30°,则∠DCE的度数为(　　)

A.30°          B.40°          C.50°           D.60°

6.如一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P(两把直尺完全相同),小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样说的依据是(　　)

A.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

C.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

7.已知:如P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.

8.如∠AOB=60°,以点O为圆心,任意长为半径作弧分别交OA,OB于C,D两点,分别以点C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P,以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则点M到OB的距离为(　　)

A.6             B.2             C.3              D.3

9.如已知点P在∠AOB的平分线上,点C在射线OA上.若点D在射线OB上,且满足PD=PC,则∠ODP与∠OCP的数量关系是　          . 

10.如,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.

(1)求证:AM⊥DM;

(2)若BC=8,求点M到AD的距离.

11.如,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.

12.(1)如①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,过点D作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为　　　　　　; 

(2)若将(1)中的条件“在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“在△ABC中,∠C=2∠B”,如如图②所示,则(1)中的结论是否仍然成立?请证明.

答案

4　第1课时　角平分线

1.D　2.B

3.2　解： 如如图,过点P作PF⊥OD,垂足为F.

∵∠AOB=150°,OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠AOP=75°.∵PD∥OA,

∴∠DPO=∠AOP=75°,∴∠DOP=∠DPO,∴∠PDO=180°-75°-75°=30°,

∴PF=DP=2.∵P为∠AOB的平分线上一点,PE⊥OA,PF⊥OD,

∴PE=PF=2.

4.解:∵在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.

∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,∴×5DE+×4DF=9,

∴DE=DF=2(cm),即DE的长是2 cm.

5.A　6.A　

7.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,

∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.

∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.

8.C　解： 由题意得OP是∠AOB的平分线,过点M作ME⊥OB于点E,如如图.

∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°.在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=OM=3.故选C.

9.∠ODP=∠OCP或∠OCP+∠ODP=180°　解： 如如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.

①∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.在Rt△CEP和Rt△DFP中,∵PC=PD,PE=PF,

∴Rt△CEP≌Rt△DFP(HL),∴∠PCE=∠PDF,∴∠ODP=∠OCP.

②∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.在Rt△CEP和Rt△D'FP中,

∵PC=PD',PE=PF,∴Rt△CEP≌Rt△D'FP(HL),

∴∠ECP=∠FD'P.∵∠OCP+∠PCE=180°,∴∠OCP+∠OD'P=180°.

故答案为∠ODP=∠OCP或∠OCP+∠ODP=180°.

10.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,

∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.

(2)如如图,过点M作MN⊥AD于点N.

∵∠B=90°,AB∥CD,∴∠C=90°.∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,

∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM.∵BC=8,∴BM=CM=4,

∴MN=4,∴点M到AD的距离为4.

11.证明:过点C作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,如如图.

在△MOE和△NOD中,∵OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD,

∴△MOE≌△NOD,∴S△MOE=S△NOD,∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE,

即S△MDC=S△NEC.∵OM=ON,OD=OE,∴MD=NE.

由三角形的面积公式得MD·CG=NE·CF,

∴CG=CF.又∵CG⊥OA,CF⊥OB,∴点C在∠AOB的平分线上.

12.解:(1)AB=AC+CD

(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:∵AD平分∠CAB,∴将△CAD沿AD折叠,点C恰好落在AB边上(设为点C'),∴△ACD≌△AC'D,∴AC=AC',CD=C'D,∠AC'D=∠C=2∠B.

又∵∠AC'D=∠C'DB+∠B,∴∠C'DB=∠B,∴C'D=C'B,∴AB=AC'+C'B=AC+C'D,

即AB=AC+CD.