第4章 单元综合 指数函数与对数函数 练习（2）

第四章 指数函数与对数函数

总分：120分时间：120分钟

一、单选题（总分48分，每题4分)

1．若有意义，则的取值范围是（        ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，所以即，故应选D.

2．函数是指数函数，则(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】函数是指数函数，∴，解得，

∴，∴．故选D．

3．若，则的值为（   ）

A、            B、        C、         D、

【答案】A

【解析】因为，所以

所以， 故选A。

4．下列运算正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对，，故错误；

对，，故错误；

对，由分数指数幂的定义得，故正确；

对，，，故错误，故选：．

5．若则下列结论正确的是 （    ）

A.  B. C. D.

【答案】A

【解析】当 .

6．已知，则（     ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】，，故，选D.

7．设，则的大小关系是（　　　）

Ａ．　　　　  Ｂ．　　　　　  Ｃ．　　　　　 Ｄ．

【答案】B

【解析】，，函数在上是单调递增的，，即，所以答案为：。

8．若点在函数的图象上，则的零点为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】根据题意，点在函数的图象上，

则，变形可得：，则

若，则，即的零点为，

故选：D．

9．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元．设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（   ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设该设备第n年的营运费为万元，

则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，

则该设备使用n年的营运费用总和为，

设第n年的盈利总额为，则，

年平均盈利额，

当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.

10．已知函数，则的零点所在区间为（   ）

A.             B.              C.               D.

【答案】B

【解析】因为即所以的零点所在区间为，故选B.

11．若，则(　　)

A. B.1 C. D.

【答案】C

【解析】依题意，.故选：C.

12．函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是　　

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】C

【解析】对于函数，令，求得，，可得函数的图象恒过定点，

若点A在一次函数的图象上，其中，则有，

则，

当且仅当时，取等号，

故的最小值是8，

故选：C．

二、填空题（总分16分，每题4分)

13．设，，则_____（用含的式子表示）．

【答案】

【解析】

，故答案为.

14．已知函数，则的值是_______

【答案】

【解析】由>0,得f()=ln=-1，∵-1<0,∴f[f（）]=f（-1）=3-1= ．

15．要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元。

【答案】160

【解析】假设底面长方形的长宽分别为,. 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.

16．已知函数的图像关于直线对称，则       

【答案】

【解析】这类问题可用特殊值法求解，从函数解析式可知点在函数图象上，因此点也在函数图象上，故，.

三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)

17．已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式

【答案】不等式的解集为

【解析】∵在时，有， ∴。

于是由，得，

解得， ∴ 不等式的解集为。

18．关于x的二次方程有两个根，其中一个根在区间（—1,0）内，另一个根在区间（1,2）内，求m的取值范围。

【答案】.

【解析】设，其图像与x轴的交点分别在区间（—1,0）和（1,2）内，

由题意得

整理得

所以.

19．计算

（1）

（2）

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）由.

（2）由.

20．某种储蓄按复利（把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息）计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期为，本利和（本金加上利息）为元

（I）写出本利和随存期变化的函数解析式；

（II）如果存入本金元，每期利率为，试计算期后的本利和

（参考数据：）

【答案】（I），；（II）元

【解析】（I）由等比数列通项公式可知，本利和随存期变化的函数解析式为：

，

（II）将，，代入函数解析式可得：

即期后的本利和为：元.

21．函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断在区间上单调性并加以证明；

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】（1）由

①时，，舍去

②时，解得或

（2） 

任意设     

1

时，为增函数

时，为减函数

22．设，且.

（Ⅰ）求的值及的定义域；

（Ⅱ）求在区间上的最小值.

【答案】（Ⅰ），的定义域为；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由得，解得，

由得，因此，函数的定义域为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

令，由得，

则原函数为，，由于该函数在上单调递减，

所以，因此，函数在区间上的最小值是.